高考大题规范解答系列(三)——数列考点一判断等差数列和等比数列例1(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．【分析】(1)看到S2＝2，S3＝－6，想到S2＝a1＋a2，S3＝a1＋a2＋a3，利用等比数列的通项公式求解．(2)看到判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列，想到等差数列的等差中项，利用2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2进行证明．【标准答案】——规范答题步步得分(1)设{an}的首项为a1，公比为q.由题设可得2分解得q＝－2，a1＝－2.4分故{an}的通项公式为an＝(－2)n.6分(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n，8分由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，11分故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列.12分【评分细则】①列出关于首项为a1，公比为q的方程组得2分．②能够正确求出a1和q得2分，只求对一个得1分，都不正确不得分．③正确写出数列的通项公式得2分．④正确计算出数列的前n项和得2分．⑤能够正确计算出Sn＋1＋Sn＋2的值得2分，得出结论2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2再得1分．⑥写出结论得1分．【名师点评】1．核心素养：数列问题是高考的必考题，求数列的通项公式及判断数列是否为等差或等比数列是高考的常见题型．本类题型重点考查“逻辑推理”及“数学运算”的学科素养．2．解题技巧：(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1、d(或q)、n、an、Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程的方法达到解题的目的．(2)等差、等比数列的判定可采用定义法、中项法等．如本题采用中项法得出2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2.〔变式训练1〕(2019·江西省八所重点中学联考)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：数列{}是等差数列；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解析](1) an＋1＝，∴－＝－＝－＝＝－.又a1＝1，∴＝－1，∴数列{}是以－1为首项，－为公差的等差数列．(2)由(1)知＝－1＋(n－1)(－)＝－，∴an＝2－＝，∴bn＝＝＝＝1＋＝1＋(－)，∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－)＝n＋(1－)＝n＋，∴数列{bn}的前n项和Tn＝n＋.考点二等差、等比数列的综合问题例2(2018·天津，18)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)．①求Tn；②证明：＝－2(n∈N*)．【分析】(1)看到求{an}和{bn}的通项公式，想到求a1，b1，公差d，和公比q.(2)①看到求Tn想到先求出Sn，再利用公式法求Tn.②看到证明：＝－2(n∈N*)，想到利用裂项相消法，先求和，再得结论．【标准答案】——规范答题步步得分(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)．由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.2分设等差数列{bn}的公差为d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.4分(2)①由(1)，有Sn＝＝2n－1，5分故Tn＝(2k－1)＝k－n＝－n＝2n＋1－n－2.7分②证明：因为＝＝＝－，10分所以，＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－2.13分【评分细则】①正确得出关于q的一元二次方程求对q，写对an的通项公式得2分．②正确得出关于b和d的方程组，求对b1和d写对bn的通项公式得2分．③正确利用前n项和公式求对Sn得1分．④正确利用公式求和法求对Tn得2分．⑤正确分裂＝－得3分．⑥正确利用裂项相消法求对得到证明结论得3分．【名师点评】1．核心素养：数列的前n项和是高考重点考查的知识点，裂项相消法是高考考查的重点，突出考查“数学运算”的核心素养．2．解题技巧：(1)熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择．如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式．(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能得到上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上得出数列{}，分析数列特征，想到用裂项法求数列前n项和．〔变式训练2〕(2020·辽...
