高考数学一轮复习 高考大题规范解答系列（四）—立体几何（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

高考大题规范解答系列(四)——立体几何考点一线面的位置关系与体积计算例1(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】——规范答题步步得分(1)取AC的中点O，连接DO，BO.1分因为AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO．又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分故AC⊥BD．4分(2)连接EO.5分由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.7分由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝AC．8分又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD．故E为BD的中点，9分从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，11分即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1.12分【评分细则】①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．②得出AC⊥DO和AC⊥BO得1分，由线面垂直的判定写出AC⊥平面DOB，再得1分．③由线面垂直的性质得出结论得1分．④作出辅助线，并用语言正确表述得1分．⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB＝90°得2分．⑥由直角三角形的性质得出EO＝AC得1分．⑦由等边三角形的性质得出E为BD的中点，得1分．⑧得出四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的得2分．⑨正确求出体积比得1分．【名师点评】1．核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养．2．解题技巧：(1)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC⊥DO，AC⊥BO；第(2)问中BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2等．(2)利用第(1)问的结果：如果第(1)问的结果对第(2)问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO＝AO．〔变式训练1〕(2019·河北省石家庄市质检)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1．(1)求证：A1B⊥平面AB1C；(2)若AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1－COB1的体积．[解析](1)证明： 四边形ACC1A1为正方形，∴AC⊥AA1，又平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，∴AC⊥平面ABB1A1，从而A1B⊥AC，又侧面ABB1A1为菱形，∴A1B⊥AB1，又AB1⊂平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴A1B⊥平面AB1C．(2)因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，所以，三棱锥C1－COB1的体积等于三棱锥A1－COB1的体积，A1B⊥平面AB1C，所以A1O为三棱锥A1－COB1的高，因为AB＝2，∠ABB1＝60°，S△COB1＝×OB1×CA＝×1×2＝1，所以VC1－COB1＝×A1O×S△COB1＝××1＝．考点二线面的位置关系与空间角例2(2018·课标Ⅲ，19)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M－ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．【分析】①在题目所给的两个平面中选择一条直线，证明该直线垂直于另一个平面；②建立空间直角坐标系，求得几何体体积最大时点M的位置，利用两个平面的法向量的夹角求解即可．【标准答案】——规范答题步步得分(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.2分因为M为上异于C，D的两点，且DC为直径，所以DM⊥CM.3分又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．4分而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．5分(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．当三棱锥M－ABC体积最大时，M为的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0，1,1)，AM＝(－2,1,1)，AB＝(0,2,0)，DA＝(2,0,0)．7分设n＝(x，y，z)是平面MAB...