[练案25]第六讲正弦定理、余弦定理A组基础巩固一、单择题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(C)A．B．C．D．[解析]因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.2．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(D)A．2B．1C．D．[解析]由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.3．已知△ABC中，A︰B︰C＝1︰1︰4，则a︰b︰c＝(A)A．1︰1︰B．2︰2︰C．1︰1︰2D．1︰1︰4[解析]△ABC中，A︰B︰C＝1︰1︰4，所以A＝，B＝，C＝π，a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC＝︰︰＝1︰1︰.4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(C)A．B．C．D．[解析]由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.5．(2020·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(B)A．A＝30°，B＝45°B．C＝75°，A＝45°C．B＝60°，c＝3D．c＝1，cosC＝[解析]由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(C)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形[解析] ＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝＝. A∈(0，π)，∴A＝.∴△ABC是等边三角形，故选C.二、多选题7．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是(ACD)A．B＝90°B．C＝120°C．c＝4D．C＝60°[解析] ＝，∴sinB＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝4.故选A、C、D.8．(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是(ACD)A．在△ABC中，a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝BC．在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；若A>B，则sinA>sinBD．在△ABC中，＝[解析]对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，所以a︰b︰c＝sinA︰sinB︰sinC，故A正确；对于B，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，若sinA>sinB，根据正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，得sinA>sinB，故C正确；对于D，由＝＝，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.三、填空题9．(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sinB＝，C＝，则b＝__1__.[解析] sinB＝且B∈(0，π)，∴B＝或，又C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由＝，得＝，∴b＝1.10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝__2__[解析]解法一：由正弦定理sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，即sin(B＋C)＝sinA＝2sinB，有＝＝2.解法二：由余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，因此，＝2.解法三：由三角形射影定理，知bcosC＋ccosB＝a，所以a＝2b，所以＝2.故填2.11．(2017·浙江节选)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是.[解析]取BC中点E，由题意，AE⊥BC.△ABE中，cos∠ABC＝＝，所以cos∠DBC＝－，sin∠DBC＝＝，所以S△BCD＝×BD×BC×sin∠DBC＝.故填.12．(2019·浙江)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝，cos∠ABD＝.[解析]在Rt△ABC中，易得AC＝5，sinC＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin∠BCD＝×＝，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCD·sin∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝.三、解答题13．(2019·北京)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．[解析](1)由余弦定...
