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高考数学一轮复习 练案(48)第七章 立体几何 第七讲 立体几何中的向量方法(含解析)-人教版高三数学试题VIP免费

高考数学一轮复习 练案(48)第七章 立体几何 第七讲 立体几何中的向量方法(含解析)-人教版高三数学试题_第1页
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[练案48]第七讲立体几何中的向量方法A组基础巩固一、单选题1.(2020·东营质检)已知A(1,0,0),B(0,-1,1),OA+λOB与OB的夹角为120°,则λ的值为(C)A.±B.C.-D.±[解析]OA+λOB=(1,-λ,λ),cos120°==-,得λ=±.经检验λ=不合题意,舍去,∴λ=-.2.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的法向量为a=(2,-2,1),已知P(-1,3,2),则P到平面OAB的距离等于(B)A.4B.2C.3D.1[解析]设点P到平面OAB的距离为d,则d=,因为a=(2,-2,1),P(-1,3,2),所以d==2.故选B.3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为下底面ABCD和上底面A1B1C1D1的中心,则B1M与AN所成角的余弦值等于(B)A.-B.C.-D.[解析]如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.设AB=2,B1M与AN所成角为θ,则A(2,0,0),M(1,1,0),B1(2,2,2),N(1,1,2),所以AN=(-1,1,2),B1M=(-1,-1,-2).故cosAN,B1M===-.因为两异面直线所成角的范围是(0,],所以cosθ=.故选B.4.在各棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点,则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(C)A.B.1C.D.[解析]以N为坐标原点,NB,NC所在的直线分别为x轴,y轴,过点N与平面ABC垂直的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则N(0,0,0),A1(0,-1,2),B(,0,0),M(,0,1),所以NB=(,0,0),A1M=(,1,-1),设直线A1M与BN所成的角为θ,则cosθ=|cosNB,A1M|===,则sinθ=,tanθ=,故选C项.5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(C)A.B.C.D.[解析]以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),∴BM=(1,-1,2),AN=(-1,0,2).∴cosBM,AN====.6.(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC-A1B1C1底面为正三角形,侧棱与底面垂直,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为(B)A.B.C.D.[解析]如图建立空间直角坐标系,则AA1=(0,0,1),A1B=(,1,-1),A1C=(0,2,-1),设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则不妨取z=2,则x=,y=1,∴n=(,1,2),∴A到平面A1BC的距离d==.故选B.7.(2019·河南安阳)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为(C)A.150°B.45°C.60°D.120°[解析]二面角的大小为AC,BD, DC=AC-AB-BD,两边平方得68=36+16+64-96cosAC,BD,∴cosAC,BD=,∴AC,BD=60°,故选C.二、多选题8.已知空间中两条直线a,b所成的角为50°,P为空间中给定的一个定点,直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是θ(0°<θ≤90°),则下列选项正确的是(ABCD)A.当θ=15°时,满足题意的直线l不存在B.当θ=25°时,满足题意的直线l有且仅有1条C.当θ=40°时,满足题意的直线l有且仅有2条D.当θ=65°时,满足题意的直线l有且仅有3条[解析]过点P分别作a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的角为50°,由题意可知25°≤θ≤90°,∴当θ=15°时,满足题意的直线不存在,故A正确;当θ=25°时,直线l过点P且与a′,b′在同一平面内,且平分a′与b′所成角,∴满足题意的直线有且仅有1条;故B正确;当25°<θ<65°时,满足题意的直线l有且仅有2条,故C正确;当θ=65°时,满足题意的直线有且仅有3条,故D正确.9.(2020·山东济南期末)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算;a×b.规定:①a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图1);③|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉.如图2,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列结论正确的是(ACD)A.AB×AD=AA1B.AB×AD=AD×ABC.(AB+AD)×AA1=AB×AA1+AD×AA1D.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(AB×AD)·CC1[解析]由叉乘运算定义知A正确;AB×AD=-AD×AB,B...

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