高考数学一轮复习 练案（49）高考大题规范解答系列（四）—立体几何（含解析）-人教版高三数学试题VIP免费

[练案49]高考大题规范解答系列(四)——立体几何1．(2019·安徽黄山质检)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，且AD⊥BC，四边形ABB1A1为正方形．(1)求证：A1C∥平面AB1D；(2)若∠BAC＝60°，BC＝4，求点A1到平面AB1D的距离．[解析](1)连接BA1，交AB1于点E，再连接DE，由已知得，四边形ABB1A1为正方形，E为A1B的中点， D是BC的中点，∴DE∥A1C，又DE⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，且BC为它们的交线，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，又 B1D⊂平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，且AD＝2，B1D＝2.同理可得，过D作DG⊥AB，则DG⊥面ABB1A1，且DG＝.设A1到平面AB1D的距离为h，由等体积法可得：VA1－AB1D＝VD－AA1B1，即··AD·DB1·h＝··AA1·A1B1·DG，即2·2·h＝4·4·，∴h＝.即点A1到平面AB1D的距离为.(注：本题也可建立空间直角坐标系用向量法求解．)2．(2019·天津，17)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3.(1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；(2)求证：PA⊥平面PCD；(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．[解析](1)证明：连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH.又由BG＝PG，故GH∥PD.又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA.又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝.又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.3．(2018·课标全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．[解析](1)由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，故PE⊥PF.可得PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P(0,0，)，D(－1，－，0)，DP＝(1，，)，HP＝(0,0，)为平面ABFD的法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.4.在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，平面ABCD⊥平面ABFE，AE∥BF，∠EAB＝90°，AB＝BF＝1.(1)求证：DB⊥EC；(2)若AE＝AB，求二面角C－EF－B的余弦值．[解析](1)因为底面ABFE为直角梯形，AE∥BF，∠EAB＝90°，所以AE⊥AB，BF⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABFE，平面ABCD∩平面ABFE＝AB，所以AE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以BF⊥BC.设AE＝t，以BA，BF，BC所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(0,0,1)，D(1,0,1)，E(1，t,0)，故DB＝(－1,0，－1)，EC＝(－1，－t,1)，因为DB·EC＝(－1,0，－1)·(－1，－t,1)＝1－1＝0，所以DB⊥EC.(2)由(1)可知BC＝(0,0,1)是平面BEF的一个法向量，设n＝(x1，y1，z1)是平面CEF的法向量，因为AE＝AB＝1，所以E(1,1,0)，又F(0,2,0)，故CE＝(1,1，－1)，CF＝(0,2，－1)．由CE·n＝(1,1，－1)·(x1，y1，z1)＝0可得x1＋y1－z1＝0，由CF·n＝(0,2，－1)·(x1，y1，z1)＝0可得2y1－z1＝0，令z1＝2，得y1＝1，x1＝1，故n＝(1,1,2)为平面CEF的一个法向量，所以cosn，BC＝＝＝，即二面角C－EF－B的余弦值为.5．(2019·郑州模拟)如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E为AD的中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在平面BCDE上的射影O落在BE上．(1)求证：BP⊥CE；(2)求二面角B－PC－D的余弦值．[解析](1) 点P在平面BCDE上的射影O落在BE上，∴PO⊥平面BCDE，∴PO⊥CE，由题意，易知BE⊥CE，又PO∩BE＝O，∴CE⊥平...