第七章第6课时空间直角坐标系随堂检测（含解析）一、选择题1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确的个数是()A．3B．2C．1D．0解析：选C.①②③不正确；类比平面直角坐标系中的对称问题，易知④正确．2．关于棱长为1的正方体各顶点的坐标说法正确的是()A．其中一个顶点的坐标是(1,1,1)B．各顶点的坐标中不可能出现负数C．各顶点的坐标中横纵竖坐标都小于等于1D．各顶点的坐标随建立空间直角坐标系位置的变化而变化解析：选D.同一个正方体建立空间直角坐标系的位置不同，其同一顶点的坐标也不同．3．(2012·保定质检)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有()A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：选D.在坐标平面xOy内设点P(x，y,0)，依题意得＝，整理得y＝－，x∈R，所以符合条件的点有无数个．4．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足()A．x＋y＋z＝－1B．x＋y＋z＝1C．x＋y＋z＝4D．x＋y＋z＝0解析：选D.到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C应满足|CA|2＝|CB|2，即(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，化简得x＋y＋z＝0.5．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB|的范围是()A．[0,5]B．[1,5]C．(0,5)D．[1,25]解析：选B.|AB|2＝(2cosβ－3cosα)2＋(2sinβ－3sinα)2＝9－12(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋4＝13－12cos(α－β)，∵－1≤cos(α－β)≤1，∴1≤|AB|2≤25.∴1≤|AB|≤5.二、填空题6．已知点A(－3,1,4)，则点A关于原点的对称点B的坐标为________，AB的长为________．解析：易知点B的坐标为(3，－1，－4)，|AB|＝＝＝2.答案：(3，－1，－4)27．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1中，顶点A(3，－1,2)，其中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．解析：依题意得正方体的顶点C1的坐标为C1(－3,3,2)，所以由两点间的距离公式得对角线的长度为|AC1|＝＝2，故正方体的棱长等于2·＝.答案：8．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)为三角形的三个顶点，则△ABC的外接圆的面积是________．解析：∵|AB|＝＝，|BC|＝＝，|CA|＝＝，∴|AB|2＝|BC|2＋|CA|2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的外接圆的半径是r＝，∴S圆＝πr2＝π.答案：π三、解答题9．如图，已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．建立适当的坐标系，求点A，B，C，D，P，E，F的坐标．解：因为PA⊥平面ABCD，所以可得PA⊥AE，PA⊥AD，连接AC，又△ABC是正三角形，E是BC的中点，所以BC⊥AE，即AE⊥AD，所以AP、AE、AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F.10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标．解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立，也就是说y轴上的所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M(0，y,0)，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝＝，|AB|＝＝，所以＝，解得y＝±.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0)．11．如图，已知点A(1,1,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，在y轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由．解：设P(0,0，c)，B(0，b,0)，对于z轴正半轴上任意一点P，假设在y轴上存在一点B，使得PA⊥AB恒成立，则|PA|2＋|AB|2＝|PB|2，∴[(0－1)2＋(0－1)2＋(c－0)2]＋[(1－0)2＋(1－b)2＋(0－0)2]＝(0－0)2＋(0－b)2＋(c－0)2，即3＋(b－1)2＝b2，解得b＝2.所以存在这样的点B，当点B为(0,2,0)时，PA⊥AB恒成立．
