第一次月考数学理试题【天津版】一、选择题：1．已知是实数，是纯虚数，则等于A.；B.；C.；D.2．已知的展开式中的系数为,则A．B．C．D．3．若实数满足且的最小值为，则实数的值为A.；B．；C.；D.4．执行如图所示的程序框图，输出的值是A．3B．—6C．10D．—155．如图所示,圆的直径，为圆周上一点，,过点作圆的切线，过点作的垂线，垂足为,则∠A.B.C.D.6．已知，，则使成立的一个充分不必要条件是A．B．C．D．7．已知实数，的等差中项为，设，则的最小值为A．3B．4C．5D．63336正视图侧视图俯视图8．对于函数，若，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、选择题：9．已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间上的汽车大约有辆.8010．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是1811．在各项均为正数的等比数列中，若，则=．12．已知平面上的三个向量，满足，则的最大值是313．在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为1214．设函数若，则函数的零点个数有个.4时速（km/h）001002003004组距4050607080频率O三、解答题：15．已知函数，其中，.（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设的内角的对边分别是，且，，若，求的面积。解：（I）……………2分=……………………4分的最大值为0；最小正周期为.………………………………………………………6分（Ⅱ），又，解得…………………8分又，由正弦定理---------------①，…………9分由余弦定理，即-------------②…………10分由①②解得：，.…………………………………………………12分16．盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为，求的分布列和数学期望.（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取个零件，抽到的是使用过的零件”为事件，则.………………2分所以次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率.……5分（Ⅱ）解：随机变量的所有取值为.………………7分；；.………………10分所以，随机变量的分布列为:………………11分.………………13分16．已知数列中，，前项的和是满足：都有：其中数列是公差为1的等差数列；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求.都有：，令得：从而，又因为数列是公差为1，所以，得：，当时，，检验：时，不满足题设；故通项公式是：（Ⅱ）当时,，当时,，所以，符合，故.18．在四棱锥中，底面是直角梯形，∥，，，平面平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（Ⅲ）在棱上是否存在点使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证明：因为，所以.………………………………………1分因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………………………………3分（Ⅱ）解：取的中点，连接.因为，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………………………………4分如图，以为原点，所在的直线为轴，在平面内过垂直于的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系．不妨设.由直角梯形中可得，，.所以，.设平面的法向量.因为所以即令，则.所以.………………………………………7分取平面的一个法向量n.所以.所以平面和平面所成的二面角（小于）的大小为.………………………………………9分（Ⅲ）解：在棱上存在点使得∥平面，此时.理由如下：………………………………………10分取的中点，连接，，.则∥，.因为，所以.因为∥，所以四边形是平行四边形.所以∥.因为，所以平面∥平面.………………………………………13分因为平面，所以∥平面.………………………………………14分19．（本小题满分14分）已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有解：（1）当时，，其定义域为…………………1分因为，所以在上是增...
