每日一题规范练(第五周)[题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－.(1)求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．解：(1)f(x)＝sin2x－－＝sin(2x－)－1.当2x－＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)min＝－2.此时自变量x的集合为{x}．(2)由f(C)＝0，得sin＝1，又C∈(0，π)，所以2C－＝⇒C＝.在△ABC中，sinB＝2sinA，由正弦定理得，b＝2a.①又c＝，由余弦定理得，()2＝a2＋b2－2abcos，所以a2＋b2－ab＝3.②联立①②得a＝1，b＝2.[题目2](本小题满分12分)已知数列{an}满足an＝2＋2cos2，n∈N*，等差数列{bn}满足a1＝2b1，a2＝b2.(1)求bn；(2)记cn＝a2n－1b2n－1＋a2nb2n，求cn；(3)求数列{anbn}前2n项和S2n.解：(1)由题意知，an＝3＋cosnπ，当n为奇数时，an＝2；当n为偶数时，an＝4.于是b1＝·a1＝1，b2＝a2＝4，故数列{bn}的公差为3，所以bn＝1＋(n－1)·3＝3n－2.(2)cn＝a2n－1b2n－1＋a2nb2n＝2[3(2n－1)－2]＋4[3×2n－2]＝36n－18.(3)由(2)知，数列{cn}为等差数列，故S2n＝a1b1＋a2b2＋…＋a2n－1b2n－1＋a2nb2n＝c1＋c2＋…＋cn＝＝18n2.[题目3](本小题满分12分)某部门为了了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：日用水量(单位：吨)[70，80)[80，90)[90，100]频数36m频率n0.5p(1)求m，n，p的值；(2)已知样本中日用水量在[80，90)内的这6个数据分别为83，85，86，87，88，89.从这6个数据中随机抽取2个，求抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率．解：(1)因为3＋6＋m＝12，所以m＝3，所以n＝＝，p＝＝＝.故m＝3，n＝p＝.(2)从这6个数据中随机抽取2个数据的情况有(83，85)，(83，86)，(83，87)，(83，88)，(83，89)，(85，86)，(85，87)，(85，88)，(85，89)，(86，87)，(86，88)，(86，89)，(87，88)，(87，89)，(88，89)共15种．其中2个数据都小于或等于86的情况有(83，85)，(83，86)，(85，86)，共3种．故抽取的2个数据中至少有一个大于86的概率P＝1－＝.[题目4](本小题满分12分)如图，几何体中的四边形ABCD为长方形，BB1⊥平面ABCD，AA1⊥平面ABCD，且BB1＝AA1.E为CD上一点，且CE＝CD.(1)求证：CB1∥平面A1BE；(2)若BB1＝1，CB＝3，AB＝，求此多面体的表面积．(1)证明：在AA1上取一个点P，满足PA＝AA1，连接PB1交直线A1B于Q，连接PD、EQ.因为BB1＝AA1，所以BB1＝PA，因为BB1⊥平面ABCD，AA1⊥平面ABCD，所以BB1∥PA，所以四边形PABB1为平行四边形．由ABCD为矩形进一步得，PB1＝CD，PB1∥CD，B1Q＝PB1＝CD，因为CE＝CD，所以CE＝QB1，CE∥QB1，所以四边形CEQB1为平行四边形，所以CB1∥QE，又因为CB1⊄平面A1BE，QE⊂平面A1BE，所以CB1∥平面A1BE.(2)解：由已知可以证明CD⊥A1D.因为BB1＝1，CB＝3，AB＝，BB1＝AA1，所以B1C＝＝，A1B1＝＝，A1C＝＝2.所以A1B1＝B1C，因此边A1C上的高h＝＝2.所以S△A1B1C＝×2×2＝2，所以此多面体的表面积为2＋×1×3＋××3＋×＋×3×3＋3×＝3＋7＋6.[题目5](本小题满分12分)设f(x)＝lnx，g(x)＝x|x|.(1)求g(x)在x＝－1处的切线方程；(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1＞x2，都有m[g(x1)－g(x2)]＞x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)当x＜0时，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，所以g(x)在x＝－1处的切线方程是y＋＝1×(x＋1)，即x－y＋＝0.(2)由题意知，F(x)＝xlnx－x|x|＝xlnx－x2(x＞0)，F′(x)＝lnx－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝lnx－x＋1，则t′(x)＝－1，令t′(x)＞0，解得0＜x＜1，令t′(x)＜0，解得x＞1，故F′(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故F′(x)≤F′(1)＝0，故F(x)在(0，＋∞)上递减．(3)已知可转化为x1＞x2≥1时，mg(x1)－x1f(x1)＞mg(x2)－x2f(x2)恒成立，令h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xlnx，则h(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，故h′(x)＝mx－lnx－1≥0恒成立，即m≥恒...
