课时知能训练一、选择题1．(2012·广州模拟)已知椭圆＋＝1的左焦点F1，右顶点A，上顶点B且∠F1BA＝90°，则椭圆的离心率是()A.B.C.D.2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C．2D．43．已知椭圆：＋＝1的焦距为4，则m等于()A．4B．8C．4或8D．以上均不对4．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[，]B．[，]C．(，1)D．[，1)5．(2012·汕尾质检)已知P为椭圆＋＝1上的一点，M、N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13D．15二、填空题6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为________．7．在△ABC中，|AB|＝|AC|，顶点A、B在椭圆＋＝1(a＞b＞0)上，顶点C为椭圆的左焦点，线段AB过椭圆的右焦点F且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为________．8．(2012·福建四校联考)已知两定点M(－1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号)．①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.三、解答题9．(2011·陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．图8－6－210．如图8－6－2所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．图8－6－311．(2011·江苏高考)如图8－6－3，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限．过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长，交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.答案及解析1．【解析】由题意知|F1B|＝a，|AB|＝，|AF1|＝a＋c，∴a2＋a2＋b2＝(a＋c)2，∴a2－ac－c2＝0.∴1－e－e2＝0，即e2＋e－1＝0，又0＜e＜1，∴e＝.【答案】A2．【解析】由题意知a2＝，b2＝1，且a＝2b，∴＝4，∴m＝.【答案】A3．【解析】由，得2＜m＜10，由题意知(10－m)－(m－2)＝4或(m－2)－(10－m)＝4，解得m＝4或m＝8.【答案】C4．【解析】设P到两个焦点的距离分别是2k，k，根据椭圆的定义可知3k＝2a，又椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，∴e≥.【答案】D5．【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1、F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.【答案】B6．【解析】由题意知＝，c＝4，∴a＝8，∴b2＝a2－c2＝64－16＝48，∴椭圆方程为＋＝1.【答案】＋＝17．【解析】如图所示，由椭圆的对称性可知|AC|＝|CB|，又|AB|＝|AC|，∴△ABC为等边三角形， AB过点F且垂直于x轴，∴|AF|＝，∴在Rt△AFC中|CF|＝|AF|＝·＝2c，∴b2＝2ac整理得，e2＋2e－＝0解得e＝或e＝－(舍)．【答案】8．【解析】以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆方程为＋＝1，则“A型直线”和该椭圆有交点．容易验证直线①、④经过椭圆内一点，故直线①④是“A型直线”，直线②和椭圆没有交点，故直线②不是“A型直线”．对于直线③，由得7x2－24x＋24＝0，此方程无解，从而直线③和椭圆无交点，故不是“A型直线”．【答案】①④9．【解】(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.又由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝.设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，则x′＝＝，y′＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为(，－)．10．【解】(1)由已知可知点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x＋6，y)，FP＝(x－4，y)，且y＞0，由已知得即2x2＋9x－18＝0，解得x＝，y＝，∴点P的坐标为(，)．(2)直线AP...
