课时知能训练一、选择题1．(2012·湛江调研)以坐标轴为对称轴，原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是()A．y＝3x2或y＝－3x2B．y＝3x2C．y2＝－9x或y＝3x2D．y＝－3x2或y2＝9x2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．123．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(，－1)B．(，1)C．(1,2)D．(1，－2)4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．165．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2二、填空题6．抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，则a的值为________．7．双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．8．(2012·广州模拟)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．三、解答题图8－8－29．已知如图8－8－2，抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线方程；(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．10．给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．(1)设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)若FA＝2BF，求直线l的方程．11．(2012·洛阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y＝x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且|ON|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA＝aAF，MB＝bBF，对任意的直线l，a＋b是否为定值？若是，求出a＋b的值；否则，说明理由．答案及解析1．【解析】圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，故圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为y2＝2p1x或x2＝－2p2y，则(－3)2＝2p1或1＝6p2，∴2p1＝9或2p2＝，∴抛物线方程为y2＝9x或x2＝－y，则y2＝9x或y＝－3x2.【答案】D2．【解析】如图，抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，过抛物线上一点P作准线的垂线PE，连结PF，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.【答案】B3．【解析】如图， 点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．过Q作x＝－1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点．当y＝－1时，由1＝4x得x＝.所以点P的坐标为(，－1)．【答案】A4．【解析】由题意，直线l的方程为x＝－2，焦点F为(2,0)，设A点的坐标为(－2，n)，则＝－，解得n＝4，又PA⊥l，由(4)2＝8x，得x＝6.∴P(6,4)，∴|PF|＝＝8.【答案】B5．【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A、B两点在抛物线上，∴①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，∴y1＋y2＝4，又直线的斜率为1，∴＝1，∴2p＝4，p＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－＝－1.【答案】B6．【解析】由题意知＝－2，∴a＝－8.【答案】－87．【解析】双曲线的左焦点坐标为(－，0)，抛物线的准线方程为x＝－，∴－＝－，∴p2＝16，又p＞0，∴p＝4.【答案】48．【解析】由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.【答案】x2＝12y9．【解】(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线的标准方程为y2＝4x.(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)， F(1,0)，∴kFA＝. MN⊥FA，∴kMN＝－.则FA所在直线的方程为y＝(x－1)．MN所在直线的方程为y－2＝－x.解方程组，得.∴N(，)．10．【解】(1)由题意可知，F(1,0)． 直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，联立，消去y得x2－6x＋1＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝x1＋x2－2＝4，∴所求圆的圆心坐标为(3,2)，半径r＝＋1＝4，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)...
