第4讲数列求和一、选择题1.在等差数列中，,则的前5项和=()A.7B.15C.20D.25解析.答案B2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()．A．15B．12C．－12D．－15解析设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.答案A3．在数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为()．A．2011B．2012C．2013D．2014解析 an＝＝－，∴Sn＝1－＝＝，解得n＝2013.答案C4．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为()．A．3690B．3660C．1845D．1830解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋1＋a2k＋3＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝＝30×61＝1830.答案D5.已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝(a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝()A．70B．75C．80D．85解析由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝＝n(n＋2)，则bn＝n＋2，T10＝＝75，故选B.答案B6．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝()．A.B．6C．10D．11解析依题意得an＋an＋1＝an＋1＋an＋2＝，则an＋2＝an，即数列{an}中的奇数项、偶数项分别相等，则a21＝a1＝1，S21＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＋a21＝10(a1＋a2)＋a21＝10×＋1＝6，故选B.答案B二、填空题7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.答案－22n－1－8．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又 a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．答案(4n－1)9．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案10．设f(x)＝，利用倒序相加法，可求得f＋f＋…＋f的值为________．解析当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝1.设S＝f＋f＋…＋f，倒序相加有2S＝＋＋…＋f＋f＝10，即S＝5.答案5三、解答题11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求＋＋…＋.解(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有解得或(舍去)故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝＝－.12．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log(3an＋1)时，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知得得到an＋1＝an(n≥2)．∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，∴an＝a2×n－2＝n－2(n≥2)．又a1＝1不适合上式，∴an＝(2)bn＝log(3an＋1)＝log＝n.∴＝＝－.∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.13．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.思维启迪：(1)由已知写出前n－1项之和，两式相减．(2)bn＝n·3n的特点是数列{n}与{3n}之积，可用错位相减法．解(1) a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②①－②得3n－1an＝，∴an＝.在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，∴an＝.(2) bn＝，∴bn＝n·3n.∴Sn＝3＋...
