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[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x2－logax<0，在x∈时恒成立，则a的取值范围是()A．01D．00，b>0)，当ab取最小值时，方程－x＝的实数解的个数是________．解析：＝≤·2＝，当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，则方程1－x＝，在同一坐标系作出y1＝－(x－1)和y2＝的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f(x)＝(a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<.其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f(x)的图像，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，而a>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在上的最小值为f＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f<成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④.答案：①③④三、解答题10．设有函数f(x)＝a＋和g(x)＝x＋1，已知x∈[－4,0]时恒有f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围．解：f(x)≤g(x)，即a＋≤x＋1，变形得≤x＋1－a，令y＝，①y＝x＋1－a，②①变形得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为，纵截距为1－a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tanα＝，0<α<，∴sinα＝，cosα＝，|OA|＝2tan＝2·＝2·＝＝6.要使f(x)≤g(x)在x∈[－4,0]恒成立，则②所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合，故有1－a≥6，即a≤－5.所以实数a的取值范围是(－∞，－5]．11．已知a>0，函数f(x)＝x|x－a|＋1(x∈R)．(1)当a＝1时，求所有使f(x)＝x成立的x的值；(2)当a∈(0,3)时，求函数y＝f...

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