2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质双基达标限时20分钟1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()．A．(±13，0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±)解析由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．答案D2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()．A.B.C.D.解析将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，则a2＝1，b2＝，即a＝1，c＝＝，故离心率e＝＝.答案A3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()．A.＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.答案A4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝()2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1.答案＋y2＝1或＋x2＝15．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．解析当k＋8>9时，e2＝＝＝，k＝4；当k＋8<9时，e2＝＝＝，k＝－.答案4或－6．求椭圆＋y2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解已知方程为＋＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝＝，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，离心率e＝＝，两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()．A.B.C．2D．4解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋＝1，∵焦点在y轴上，∴>1，∴0b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．A.B.C.D.解析记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝＝＝，故选B.答案B9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为，∴e＝＝＝，∴＝，∴b2＝9.∴椭圆G的方程为＋＝1.答案＋＝110．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为的椭圆的标准方程为________．解析由题意知解得但焦点位置不确定．答案＋＝1或＋＝111．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，－6)．求椭圆的标准方程．解法一依题意a＝2b.(1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1.代入点A(2，－6)坐标，得＋＝1，解得b2＝37，∴a2＝4b2＝4×37＝148，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1.代入点A(2，－6)坐标得＋＝1，∴b2＝13，∴a2＝52.∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.法二设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，由已知椭圆过点A(2，－6)，所以有＋＝1.①由题设知a＝2b，∴＝2，②或＝2，③由①②可解得n＝37，∴m＝148.由①③可解得m＝13，∴n＝52.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.12．(创新拓展)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝.∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1.①MP＝(t－x0，－y0)，MH＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得MP·MH＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y02＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x02＋2x0－3.∵x0≠2，∴t＝x0－.∵－2
