2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程双基达标限时20分钟1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是()．A.－＝1(x≤－4)B.－＝1(x≤－3)C.－＝1(x≥4)D.－＝1(x≥3)解析根据双曲线的定义可得．答案D2．双曲线－＝1的焦距为()．A．3B．4C．3D．4解析由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.故选D.答案D3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()．A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0解析因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.答案C4．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．解析因为双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1，所以k<0，又(0，3)是双曲线的一个焦点，则c＝3，于是有－－＝32＝9，解得k＝－1.答案－15．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．解析由双曲线方程－＝1知，a＝8，b＝6，则c＝＝10.∵P是双曲线上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.答案336．(1)求经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．解(1)设双曲线的标准方程为nx2＋my2＝1(m·n<0)，又双曲线经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，所以解得所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(±，4)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以解得所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.综合提高（限时25分钟）7．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为()．A．－11C．k<－1D．k>1或k<－1解析由题意得解得即－15，则c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7；(2)当焦点在y轴上，有m<0，则c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2；综上述，m＝7或m＝－2.答案7或－210．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.解析由双曲线－＝1可知a>0，且焦点在x轴上．根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.答案111．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．解(1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．(4)当01时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．12．(创新拓展)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．解设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
