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高三数学 经典例题精解分析 2-4-2 抛物线的简单几何性质VIP免费

高三数学 经典例题精解分析 2-4-2 抛物线的简单几何性质_第1页
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2.4.2抛物线的简单几何性质双基达标限时20分钟1.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是().A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0解析设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F(,0),所以3×-2×0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.选A.答案A2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为().A.2B.2C.2D.2解析不妨设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2.由直线AB斜率为-2,且过点(1,0)得直线AB的方程为y=-2(x-1),代入抛物线方程y2=8x得4(x-1)2=8x,整理得x2-4x+1=0,解得x1=2+,x2=2-,代入直线AB方程得y1=-2-2,y2=2-2.故A(2+,-2-2),B(2-,2-2).|AB|==2.答案B3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为().A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2解析抛物线的焦点为F(,0),所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,代入y2=2px得y2=2p(y+)=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1.答案B4.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为________.解析 过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.∴所求抛物线方程为x2=±16y.答案x2=±16y5.已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若OA·AF=-4,则点A的坐标是________.解析 抛物线的焦点为F(1,0),设A(,y0),则OA=(,y0),AF=(1-,-y0),由OA·AF=-4,得y0=±2,∴点A的坐标是(1,2)或(1,-2).答案(1,2)或(1,-2)6.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)顶点在原点,对称轴为坐标轴,顶点到准线的距离为4;(2)顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心,准线过双曲线的左顶点,且垂直于坐标轴.解(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知:顶点到准线的距离为,故=4,p=8.因此,所求抛物线的标准方程为y2=±16x或x2=±16y.(2)双曲线方程16x2-9y2=144化为标准形式为-=1,中心为原点,左顶点为(-3,0),故抛物线顶点在原点,准线为x=-3.由题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得=3,故p=6.因此,所求抛物线的标准方程为y2=12x.综合提高(限时25分钟)7.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=().A.B.C.D.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0,由得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,∴x1x2=4,① |FA|=x1+=x1+2,|FB|=x2+=x2+2,且|FA|=2|FB|,∴x1=2x2+2.②由①②得x2=1,∴B(1,2),代入y=k(x+2),得k=.故选D.答案D8.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向准线l作垂线,垂足分别为M1,N1,则∠M1FN1等于().A.45°B.60°C.90°D.120°解析如图,由抛物线的定义,得|MF|=|MM1|,|NF|=|NN1|.∴∠MFM1=∠MM1F,∠NFN1=∠NN1F.设准线l与x轴的交点为F1, MM1∥FF1∥NN1,∴∠MM1F=∠M1FF1,∠NN1F=∠N1FF1.而∠MFM1+∠M1FF1+∠NFN1+∠N1FF1=180°,∴2∠M1FF1+2∠N1FF1=180°,即∠M1FN1=90°.答案C9.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是________.解析该等边三角形的高为.因而A点坐标为或.可设抛物线方程为y2=2px(p≠0).A在抛物线上,因而p=±.因而所求抛物线方程为y2=±x.答案y2=±x10.设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A、B两点,若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为________.解析抛物线的方程为y2=4x,设直线l与抛物线C的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1≠x2,两式相减得,y12-y22=4(x1-x2),∴==1,∴直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.答案y=x11.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为,求抛物线的方程.解设抛物...

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