高三数学 经典例题精解分析 2-4-2 抛物线的简单几何性质VIP免费

2.4.2抛物线的简单几何性质双基达标限时20分钟1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是()．A．6x－4y－3＝0B．3x－2y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0解析设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F(，0)，所以3×－2×0＋c＝0，所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.选A.答案A2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()．A．2B．2C．2D．2解析不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.由直线AB斜率为－2，且过点(1，0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直线AB方程得y1＝－2－2，y2＝2－2.故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．|AB|＝＝2.答案B3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()．A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p(y＋)＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.答案B4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析 过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．∴所求抛物线方程为x2＝±16y.答案x2＝±16y5．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA·AF＝－4，则点A的坐标是________．解析 抛物线的焦点为F(1，0)，设A(，y0)，则OA＝(，y0)，AF＝(1－，－y0)，由OA·AF＝－4，得y0＝±2，∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．答案(1，2)或(1，－2)6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．解(1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.综合提高（限时25分钟）7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()．A.B.C.D.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，① |FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.答案D8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1等于()．A．45°B．60°C．90°D．120°解析如图，由抛物线的定义，得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|.∴∠MFM1＝∠MM1F，∠NFN1＝∠NN1F.设准线l与x轴的交点为F1， MM1∥FF1∥NN1，∴∠MM1F＝∠M1FF1，∠NN1F＝∠N1FF1.而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°.答案C9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是________．解析该等边三角形的高为.因而A点坐标为或.可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y2＝±x.答案y2＝±x10．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________．解析抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，两式相减得，y12－y22＝4(x1－x2)，∴＝＝1，∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.答案y＝x11．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程．解设抛物...