第2课时空间向量与垂直关系双基达标限时20分钟1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则()．A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交解析∴u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α.答案B2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是()．A．0B．1C．－2D．2解析λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)∵(λa＋b)⊥a∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.答案C3．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为()．A．10B．－10C.D．－解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.答案B4．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为(1，，2)，且l⊥α，则m＝________．解析由l⊥α得，＝＝，即m＝4.答案45．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件AM·n＝0的点M的轨迹是________．解析∵AM·n＝0，∴AM⊥n，或AM＝0，∴M点在过A且与n垂直的平面上．答案过A且以n为法向量的平面6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.证明如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)．于是OB1＝(1，1，2)，AC＝(－2，2，0)，AP＝(－2，0，1)，由于OB1·AC＝－2＋2＋0＝0及OB1·AP＝－2＋0＋2＝0.∴OB1⊥AC，OB1⊥AP，∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.又AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面PAC.综合提高（限时25分钟）7．两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是()．A．－3B．6C．－6D．－12解析α⊥β⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.答案B8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()．A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E(，，1)，∴CE＝(－，，1)，AC＝(1，－1，0)，BD＝(－1，－1，0)，A1D＝(0，－1，－1)，A1A＝(0，0，－1)∵CE·BD＝(－1)×(－)＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD答案B9．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？______(填“是”或“否”)．解析m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.∴l与α不垂直．答案否10．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标为________．解析因为AB＝(－1，－1，1)，AC＝(2，0，1)，PA＝(－x，1，－z)，由PA·AB＝0，PA·AC＝0，得则x＝，z＝－，所以P(，0，－)．答案(，0，－)11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明法一如图，建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，1，)，∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1，1，0)，∴BC＝(－2，2，0)，AD＝(1，1，0)，AA1＝(0，0，)，∵BC·AD＝－2＋2＋0＝0，BC·AA1＝0＋0＋0＝0，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1，而BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.法二同法一，得AA1＝(0，0，)，AD＝(1，1，0)，BC＝(－2，2，0)，CC1＝(0，－1，)，设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，∴n1＝(1，－1，0)．由得令y2＝1，得x2＝1，z2＝，∴n2＝(1，1，)．∴n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.12．(创新拓展)如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：a＝；a＝1；a＝2；a＝；a＝4.若在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取所给数据中的哪些值？并说明理由．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)．设Q(a，x，0)(BQ＝x，0≤x≤2)，于是PQ＝(a，x，－2)，QD＝(－a，2－x，0)．由PQ⊥QD得PQ·QD＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0，即x2－2x＋a2＝0，此方程有解，Δ≥0，∴0
