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高三数学 经典例题精解分析 3-2第2课时 空间向量与垂直关系VIP免费

高三数学 经典例题精解分析 3-2第2课时 空间向量与垂直关系_第1页
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第2课时空间向量与垂直关系双基达标限时20分钟1.若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量为u=(-2,0,-4),则().A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交解析∴u=-2a,∴a∥u,∴l⊥α.答案B2.若a=(2,-1,0),b=(3,-4,7),且(λa+b)⊥a,则λ的值是().A.0B.1C.-2D.2解析λa+b=λ(2,-1,0)+(3,-4,7)=(3+2λ,-4-λ,7)∵(λa+b)⊥a∴2(3+2λ)+4+λ=0,即λ=-2.答案C3.若平面α、β的法向量分别为a=(-1,2,4),b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为().A.10B.-10C.D.-解析因为α⊥β,则它们的法向量也互相垂直,所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,解得x=-10.答案B4.若l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为(1,,2),且l⊥α,则m=________.解析由l⊥α得,==,即m=4.答案45.设A是空间任一点,n为空间内任一非零向量,则适合条件AM·n=0的点M的轨迹是________.解析∵AM·n=0,∴AM⊥n,或AM=0,∴M点在过A且与n垂直的平面上.答案过A且以n为法向量的平面6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,求证:OB1⊥平面PAC.证明如图,建立空间直角坐标系,不妨设正方体棱长为2,则A(2,0,0),P(0,0,1),C(0,2,0),B1(2,2,2),O(1,1,0).于是OB1=(1,1,2),AC=(-2,2,0),AP=(-2,0,1),由于OB1·AC=-2+2+0=0及OB1·AP=-2+0+2=0.∴OB1⊥AC,OB1⊥AP,∴OB1⊥AC,OB1⊥AP.又AC∩AP=A,∴OB1⊥平面PAC.综合提高(限时25分钟)7.两平面α、β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是().A.-3B.6C.-6D.-12解析α⊥β⇒u·v=0⇒-6+y+z=0,即y+z=6.答案B8.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于().A.ACB.BDC.A1DD.A1A解析建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.则A(0,1,0),B(1,1,0),C(1,0,0),D(0,0,0),A1(0,1,1),C1(1,0,1),E(,,1),∴CE=(-,,1),AC=(1,-1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(0,-1,-1),A1A=(0,0,-1)∵CE·BD=(-1)×(-)+(-1)×+0×1=0,∴CE⊥BD答案B9.向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α是否垂直?______(填“是”或“否”).解析m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.∴l与α不垂直.答案否10.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐标为________.解析因为AB=(-1,-1,1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z),由PA·AB=0,PA·AC=0,得则x=,z=-,所以P(,0,-).答案(,0,-)11.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC.A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明法一如图,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),C1(0,1,),∵D为BC的中点,∴D点坐标为(1,1,0),∴BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),AA1=(0,0,),∵BC·AD=-2+2+0=0,BC·AA1=0+0+0=0,∴BC⊥AD,BC⊥AA1,∴BC⊥AD,BC⊥AA1,又AD∩AA1=A,∴BC⊥平面ADA1,而BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.法二同法一,得AA1=(0,0,),AD=(1,1,0),BC=(-2,2,0),CC1=(0,-1,),设平面A1AD的法向量n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2).由得令y1=-1得x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).由得令y2=1,得x2=1,z2=,∴n2=(1,1,).∴n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2.∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.12.(创新拓展)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:a=;a=1;a=2;a=;a=4.若在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD,则a可以取所给数据中的哪些值?并说明理由.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0).设Q(a,x,0)(BQ=x,0≤x≤2),于是PQ=(a,x,-2),QD=(-a,2-x,0).由PQ⊥QD得PQ·QD=-a2+x(2-x)-2×0=0,即x2-2x+a2=0,此方程有解,Δ≥0,∴0

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