第二章圆锥曲线与方程本章归纳整合高考真题1．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()．A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线的方程为y2＝2px＝8x.答案C2．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()．A．2B．2C．4D．4解析双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.答案C3．(2011·广东高考)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()．A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．答案A4．(2011·江西高考)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.解析由题意知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.答案485．(2011·全国课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.答案＋＝16．(2011·陕西高考)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.7．(2011·福建高考)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解(1)由得x2－4x－4b＝0(*)，因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2，1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.8．(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．解(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，有－＝1.由题意又有·＝，即x02－5y02＝a2，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即又C为双曲线上一点，即x32－5y32＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，化简得λ2(x12－5y12)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x12－5y12＝5b2，x22－5y22＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.
