1．(本小题15分)(2013·山东烟台二模)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．(1)证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<2.解(1)由已知得，2Sn＝a＋an，且an>0，当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1(a1＝0舍去)；当n≥2时，有2Sn－1＝a＋an－1.于是2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，即2an＝a－a＋an－an－1.于是a－a＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1.因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．所以数列{an}的通项公式为an＝n.(2)证明：因为an＝n，则Sn＝，＝＝2，所以＋＋…＋＝2＝2<2.2．(本小题15分)(2013·福建福州二模)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若PM·PN的最大值为49，求椭圆C1的方程．解(1)由题意可知直线l的方程为bx＋cy－(3－)c＝0，因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝.(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则＋＝1(c>0)，又PM·PN＝(PC2＋C2M)·(PC2＋C2N)＝PC\o\al(2－C2N2＝x2＋(y－3)2－1＝－(y＋3)2＋2c2＋17(－c≤y≤c)．①当c≥3时，(PM·PN)max＝17＋2c2＝49，解得c＝4，此时椭圆方程为＋＝1；②当0
3，故舍去．综上所述，椭圆C1的方程为＋＝1.3．(本小题15分)(2013·湖南卷)过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2.l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：FM·FN<2p2；(2)若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．解(1)由题意，抛物线E的焦点为F，直线l1的方程为y＝k1x＋.由得x2－2pk1x－p2＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根．从而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p.所以点M的坐标为，FM＝(pk1，pk)．同理可得点N的坐标为，FN＝(pk2，pk)．于是FM·FN＝p2(k1k2＋kk)．由题设，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以00，所以点M到直线l的距离d＝＝＝.故当k1＝－时，d取最小值.由题设，＝，解得p＝8.故所求的抛物线E的方程为x2＝16y.4．(本小题15分)(2013·福建卷)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值；(3)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值．解(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，∴函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝lna.x∈(－∞，lna)，f′(x)<0，x∈(lna，＋∞)，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋.令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝(1－k)x＋，则直线l：y＝x－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在R上没有实数解．假设k>1，此时g(0)＝1>0，g＝－1＋<0，又函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在R上至少有一解，...
