1．(本小题15分)(2013·山东烟台二模)设数列{an}的各项都为正数，其前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，Sn是a和an的等差中项．(1)证明数列{an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋0，当n＝1时，2a1＝a＋a1，解得a1＝1(a1＝0舍去)；当n≥2时，有2Sn－1＝a＋an－1
于是2Sn－2Sn－1＝a－a＋an－an－1，即2an＝a－a＋an－an－1
于是a－a＝an＋an－1，即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1
因为an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．所以数列{an}的通项公式为an＝n
(2)证明：因为an＝n，则Sn＝，＝＝2，所以＋＋…＋＝2＝2b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若PM·PN的最大值为49，求椭圆C1的方程．解(1)由题意可知直线l的方程为bx＋cy－(3－)c＝0，因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝
(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则＋＝1(c>0)，又PM·PN＝(PC2＋C2M)·(PC2＋C2N)＝PC\o\al(2－C2N2＝x2＋(y－3)2－1＝－(y＋3)2＋2c2＋17(－c≤y≤c)．①当c≥3时，(PM·PN)max＝17＋2c2＝49，解得c＝4，此时椭圆方程为＋＝1；②当00，k2>0，证明：FM·FN0，k2>0，k1≠k2，所以00时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝lna
x∈(－∞，lna)，f′(x)0，∴f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)
