1．(本小题15分)(2013·山东淄博一模)已知向量m＝，n＝(1,2sinB)，m·n＝sin2C，其中A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．(1)求角C的大小；(2)若sinA＋sinB＝2sinC，且S△ABC＝，求边c的长．解(1) m·n＝sin(A－B)＋2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAcosB＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C且00，得ω＝2.又f(x)过点，∴sin＋＝1，得cosφ＝.又 0<φ<，∴φ＝.∴f(x)＝sin＋.(2) f＝，得：sinC＋＝，∴sinC＝. 角C为锐角，∴cosC＝.又 a＝，S△ABC＝absinC＝··b·＝2，∴b＝6.由余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcosC＝5＋36－2··6·＝21，∴c＝.3．(本小题15分)(理)(2013·福建卷)如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCD－A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)解(1)取CD的中点E，连接BE. AB∥DE，AB＝DE＝3k，∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中， BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°，即BE⊥CD.又BE∥AD，∴CD⊥AD. AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1.(2)以D为原点，DA，DC，DD1的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以AC＝(－4k,6k,0)，AB1＝(0,3k,1)，AA1＝(0,0,1)．设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ＝|cos〈AA1，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.(3)共有4种不同的方案．f(k)＝3．(本小题15分)(文)(2013·陕西卷)如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．解(1)由题设知，BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1. A1D1綊B1C1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又 BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2) A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．又 AO＝AC＝1，AA1＝，∴A1O＝＝1.又 S△ABD＝××＝1，∴VABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.4．(本小题15分)(理)(2013·重庆卷)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．解设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.(2)X的所有可能值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·...
