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高中数学二轮复习专题 第一部分《1-5-3 圆锥曲线的综合问题》课时演练 新人教版VIP免费

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第一部分专题五第3课时(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)A级1.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:设P(x0,y0),则+=1即y=3-,又因为F(-1,0),∴OP·FP=x0·(x0+1)+y=x+x0+3=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],∴OP·FP∈[2,6],所以(OP·FP)max=6.答案:C2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=()A.B.C.-D.-解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,得点F(1,0),由消去y,得x2-5x+4=0,x=1或x=4,因此点A(1,-2),B(4,4),FA=(0,-2),FB=(3,4),cos∠AFB===-,故选D.答案:D3.已知A,B是圆F:2+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为________.解析:|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2>1=|AF|,所以点P的轨迹为以A、F为焦点,2为长轴长的椭圆,所以a=1,c=,b2=1-=.所以点P的轨迹方程为x2+y2=1.答案:x2+y2=14.设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为________.解析:由已知,得抛物线方程为y2=4x.直线l的斜率不存在时,根据抛物线的对称性,点(2,2)不可能是AB的中点,故直线l的斜率存在,设其为k,则直线l的方程是y-2=k(x-2)且k≠0,与抛物线方程联立,消掉x,则y2-4=0,即y2-y+-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,又=2,即=2,解得k=1,故所求的直线方程是y-2=x-2,即y=x.答案:y=x5.(2012·山西省考试)已知椭圆的中心是坐标原点O,焦点F1,F2在y轴上,它的一个顶点为A(,0),且中心O到直线AF1的距离为焦距的,过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P,Q,点N在线段PQ上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设|PM|·|NQ|=|PN|·|MQ|,求动点N的轨迹方程.解析:(1)设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0).由于椭圆的一个顶点是A(,0),故b2=2.根据题意得,∠AF1O=,sin∠AF1O=,即a=2b,a2=8,所以椭圆的标准方程是+=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x,y),由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2).直线l的方程与椭圆方程联立消去y得:(k2+4)x2-4k2x+4k2-8=0.由Δ=16k4-4(k2+4)(4k2-8)>0,得-2b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.解析:(1)设椭圆C的半焦距是c.依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为+=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=.所以x3==,y3=k(x3-1)=.线段MN的垂直平分线的方程为y+=-.在上述方程中,令x=0,得y0==.当k<0时,+4k≤-4;当k>0时,+4k≥4.所以-≤y0<0或0

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