第一部分专题四第二讲数列求和及综合应用A组1．设{an}的首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(D)A．2B．－2C．D．－[解析]由题意知S1＝a1，S2＝2a1－1，S4＝4a1－6，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1·S4，即(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.故选D．2．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋等于(B)A．1－B．(1－)C．1－D．(1－)[解析]因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，所以＝×()n－1，所以{}也是等比数列，所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故选B．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于(C)A．30B．45C．90D．186[解析]设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得所以an＝3n，所以bn＝a2n＝6n，且b1＝6，公差为6，所以S5＝5×6＋×6＝90.4．等差数列{an}中，a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是(C)[解析] Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1>0，公差d<0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．[点评]可取特殊数列验证排除，如an＝3－n.5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2;②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(C)A．①②B．③④C．①③D．②④[分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{an}是等比数列，则{f(an)}仍是等比数列．[解析]解法一：设{an}的公比为q.①f(an)＝a， ＝()2＝q2，∴{f(an)}是等比数列，排除B、D．③f(an)＝， ＝＝，∴{f(an)}是等比数列，排除A．解法二：不妨令an＝2n.①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝a＝4n.显然{f(an)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以＝＝4≠＝＝16，所以{f(an)}不是等比数列．③因为f(x)＝，所以f(an)＝＝()n.显然{f(an)}是首项为，公比为的等比数列．④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln2n＝nln2.显然{f(an)}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C．6．(2018·邵阳一模)已知数列{bn}为等比数列，且b1009＝e(e为自然对数的底数)，数列{an}的首项为1，且an＋1＝an·bn，则lna2018的值为2_017.[解析]因为数列{bn}为等比数列，且b1009＝e(e为自然对数的底数)，数列{an}的首项为1，且an＋1＝an·bn，所以a2018＝b1·b2·b3·b4·…·b2017＝b＝e2017，lna2018＝lne2017＝2017.7．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an，且数列{bn}的前10项的和为25，那么＋＋＋…＋的值为.[解析]数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝log2an，且数列{bn}的前10项的和为25，所以b1＋b2＋…＋b10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log2(a21＋2＋…＋9)＝25，所以a×245＝225，可得：a1＝.那么＋＋＋…＋＝4(1＋＋＋…＋)＝4×＝.8．已知等比数列{an}的公比q>1,4是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.[解析](1)因为4是a1和a4的一个等比中项，所以a1·a4＝(4)2＝32.由题意可得因为q>1，所以a3>a2.解得所以q＝＝2.故数列{an}的通项公式an＝2n.(2)由于bn＝log2an(n∈N*)，所以anbn＝n·2n，Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②①－②得，－Sn＝1·2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1.所以Sn＝2－2n＋1＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．[解析](1)设等比数列{bn}的公比为q，由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q...
