第1讲曲线方程与抛物线1.如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．(1)△PAB的周长为10.(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)．(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．解：(1)根据题意知，PA＋PB＋AB＝10，即PA＋PB＝6＞4＝AB，故P点轨迹是椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．(2)设圆P的半径为r，则PA＝r＋1，PB＝r，因此PA－PB＝1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.(3)依题意知，动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p＝4.因此其轨迹方程为y2＝－8x.2.已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.解：(1)依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.易知直线OA的方程为y＝x＝x，直线BC的方程为x＝x2，由得y＝＝－，即点C的轨迹M的方程为y＝－.(2)证明：由题意知直线n的斜率存在．设直线n的方程为y＝k1x＋m.由⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.因为直线n与抛物线相切，所以Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．又由⇒Q，所以FP·FQ＝·＝－(p＋2m)＋pm＋＝0⇒FP⊥FQ，所以以线段PQ为直径的圆过点F.3．(2019·南京三模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2,0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.(1)求p的值；(2)若l与x轴不垂直，设线段AB的中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．解：(1)因为l过M(2,0)，且当l垂直于x轴时，AB＝4，所以抛物线经过点(2,2)，代入抛物线方程，得4＝2p·2，解得p＝1.(2)证明：设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立消去x，得ky2－2y－4k＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4.因为C为AB中点，所以yC＝＝，则直线l1的方程为y＝.因为直线l2过点M且与l垂直，则l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即P，所以点P在定直线x＝1上．4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)若△AOB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．解：因为抛物线的方程为y2＝4x，所以F(1,0)．(1)设M(x，y)，A(x1，y1)．因为M为线段AF的中点，所以x＝，y＝，则x1＝2x－1，y1＝2y，代入抛物线方程得y2＝2x－1，所以点M的轨迹方程为y2＝2x－1.(2)由(1)知A(x1，y1)，设B(x2，y2)，不妨令y1＞0，y2＜0，设△AOF和△BOF的面积分别为S1，S2，因为△AOB的面积是△BOF面积的3倍，所以S1＋S2＝3S2，所以S1＝2S2.因为S1＝OF·y1，S2＝OF·|y2|＝－OF·y2，所以y1＝－2y2.①易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty＋1(t＞0)②与y2＝4x联立，消去x得y2－4ty－4＝0，解得y1,2＝2t±2，则y1＋y2＝4t，③y1y2＝－4④由①③④可得t＝，代入②，得直线l的方程为y＝2(x－1)；同理，当y1＜0，y2＞0时，得直线l的方程为y＝－2(x－1)．综上，直线l的方程为y＝±2(x－1)．5．(2019·如皋期中)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为x＝－.若抛物线C与直线l：y＝2x＋m相交于A，B两点，抛物线的焦点在直线l上，线段AB的中点到抛物线准线的距离为5.(1)求p，m的值；(2)设点E为抛物线C上一点，若三角形AEB的面积为4，试确定点E的个数，并说明理由．解：(1)因为抛物线的焦点在直线l上，所以＝－，即m＝－p，联立消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，＝，因为线段AB的中点到抛物线准线的距离为5，所以＋＝5，解得p＝4，则m＝－4.(2)由(1)知，抛物线方程为y2＝8x，直线l的方程为y＝2x－4，联立整理得x2－6x＋4＝0，所以AB＝|x1－x2|＝·＝10.设点E到直线AB的距离为d，则三角形AEB的面积为×10×d＝4，解得d＝.设平行于AB且与抛物线相切的直线为y＝2x＋n，联立消去y，得4x2＋(4n－8)x＋n2＝0，Δ＝(4n－8)2－16n2＝－64n＋64＝0，n＝1，此时切线方程为y＝2x＋1，其与直线AB的距离为＞，而与直线AB的距离为的点在两条平行直线上，这两条直线与抛物线的交点共有4个，所以符合题意的点E共有4个．
