第4讲随机变量及其分布列1．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设“选出的2人参加义工活动次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.2．某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路．统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路Ⅱ堵车的概率为，不堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响．(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率．解：记“汽车甲走公路Ⅰ堵车”为事件A，“汽车乙走公路Ⅰ堵车”为事件B，“汽车丙走公路Ⅱ堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P1＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝××＋××＋××＋××＝.3．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.所以事件A发生的概率为.4．某排球比赛采用五局三胜制，现按照以下规则进行积分：在比赛中以大比分3∶0或者3∶1获胜的球队积3分，失败的球队积0分；在比赛中以3∶2获胜的球队积2分，失败的球队积1分．在甲队对乙队的比赛中，每局甲队获胜的概率都为；在甲队对丙队的比赛中，每局甲队获胜的概率都为.(1)求甲队经过两轮比赛后积6分的概率；(2)已知甲队对丙队的比赛中甲队积2分，求甲队经过两轮比赛后积分Y的分布列和数学期望．解：(1)记“甲队经过两轮比赛后积6分”为事件A，“甲队以大比分3∶0或3∶1胜乙队”为事件B，“甲队以大比分3∶0或3∶1胜丙队”为事件C.P(B)＝C3＋C2××＝＋＝，P(C)＝C3＋C2××＝.故P(A)＝P(B)P(C)＝×＝.(2)记甲队对乙队的比赛中甲队的积分为X，则Y＝X＋2.由(1)知P(X＝3)＝P(B)＝；P(X＝2)＝C2×2×＝；P(X＝1)＝C2×2×＝；P(X＝0)＝C03＋C1×2×＝.所以X的分布列为X3210P故积分X的数学期望为E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.由Y＝X＋2，可得E(Y)＝E(X)＋2＝＋2＝.5．某高校通过自主招生方式在江苏招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度来分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？解：(1)由题意可得，所...
