第18讲导数的简单应用A级——高考保分练1．若f(x)＝，则f′＝________.解析：f′(x)＝，∴f′＝－.答案：－2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝________.解析：令y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－.经验证，－为函数y＝x·2x的极小值点．答案：－3．(2019·连云港调研)若f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1对x∈R恒成立，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析： f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1，①∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1，②联立①②，解得f(x)＝－x3－x＋，则f′(x)＝－x2－1，∴f(1)＝－－1＋＝－，f′(1)＝－－1＝－，∴切线方程为y＋＝－(x－1)，即10x＋4y－5＝0.答案：10x＋4y－5＝04．已知函数f(x)＝lnx－(m∈R)在区间[1，e]上取得最小值4，则m＝________.解析：因为f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，所以至少满足f(1)≥4，f(e)≥4，解得m≤－3e，又f′(x)＝，且x∈[1，e]，所以f′(x)<0，即f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)min＝f(e)＝1－＝4，解得m＝－3e.答案：－3e5．(2019·苏北四市期末)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：xy＝上任意一点P到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为________．解析：设过曲线C：xy＝上任意一点P的切线与直线l：x＋y＝0平行．因为y′＝－，所以y′|x＝x0＝－＝－，解得x0＝±.当x0＝时，P(，1)到直线l：x＋y＝0的距离d＝＝；当x0＝－时，P(－，－1)到直线l：x＋y＝0的距离d＝＝，所以曲线C：xy＝上任意一点到直线l：x＋y＝0的距离的最小值为.答案：6.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值、极小值分别是________．解析：由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2
2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．答案：f(－2)、f(2)7．若函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解得a>.∴a的取值范围是.答案：8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．解析： f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b.又f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，∴t＝ab＝a(6－a)＝－(a－3)2＋9，当且仅当a＝b＝3时，t取得最大值9.答案：99．若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是________．解析：由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)极小值点必在区间(a,6－a2)内，即实数a满足a<1<6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.解a<1<6－a2，得－
