第23讲数列的递推公式及等差、等比数列的判定与证明A级——高考保分练1．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝________.解析： ＝＋，∴－＝，∴是以＝1为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.答案：2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.解析：由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案：－3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)＝________.解析：因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an，所以数列{an}是公比q＝3的等比数列，所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9，所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35，所以log(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.答案：－54．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，则S4＝________.解析：an＋1＝3Sn＋1①，an＝3Sn－1＋1(n≥2)②，①－②得：an＋1＝4an(n≥2)，又a1＝1，a2＝3a1＋1＝4，∴{an}是首项为1，公比为4的等比数列，∴S4＝＝85.答案：855．(2019·宿迁期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＋1－2an＝1，a1＝1，则S9＝________.解析：由an＋1－2an＝1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，即＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，设bn＝an＋1的前n项和为Tn，则T9＝＝1022，S9＝T9－9＝1013.答案：10136．设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________.解析：法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，则Sn＋1＝2Sn，又S1＝a1＝4，所以数列{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＝4·2n－1＝2n＋1，则a5＝S5－S4＝26－25＝32.法二：当n≥2时，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，两式相减，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以数列{an}是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.答案：327．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．解析：因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.答案：238．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，若an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________.解析：由an(an－1＋2an＋1)＝3an－1·an＋1，得anan－1－an－1an＋1＝2an－1·an＋1－2anan＋1，－＝2，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以－＝2·2n－1＝2n，所以－＝2，－＝4，…，－＝2n－1，所以－＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，所以＝2n－2＋＝2n－1，所以an＝.答案：9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．解析：因为an＋1＝(n∈N*)，所以＝＋1，设＋t＝3，所以3t－t＝1，解得t＝，所以＋＝3，又＋＝1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，所以＝，所以an＝.答案：an＝10．(2019·南通、泰州、扬州一调)已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|an|}是等比数列；②数列{anan＋1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga}是等比数列．其中正确的命题有________个．解析：设等比数列{an}的公比为q，对于①中数列{|an|}，＝|q|，且首项|a1|≠0，所以为等比数列；对于②中数列，＝q2，且首项a1a2≠0，所以为等比数列；对于③中数列，＝，且首项≠0，所以为等比数列；对于④中数列，若a1＝1，则lga1＝0，所以不是等比数列．故正确的命题有3个．答案：311．已知数列{an}，{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，an＋1bn＝Sn＋1(n∈N*)．(1)若a1＝1，bn＝，求a4的值；(2)若{an}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{bn＋λ}为等比数列．解：(1)由a1＝1，bn＝，知a2＝4，a3＝6，a4＝8.(2)证明：因为an＋1bn＝Sn＋1，①所以当n≥2时，anbn－1＝Sn－1＋1，②①－②得，an＋1bn－anbn－1＝an，③由③得，bn＝bn－1＋＝bn－1＋，所...
