第25讲数列的综合应用1．(2019·苏州期中)已知数列{an}的通项公式为an＝5n＋1，数列{bn}的通项公式为bn＝n2，若将数列{an}，{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{cn}，则c6的值为________．解析：设am＝bk，则有5m＋1＝k2，即，因为m是正整数，所以k＋1或k－1是5的整数倍，设k＋1＝5t或k－1＝5t，即k＝5t－1或k＝5t＋1，所以k＝4,6,9,11,14,16,19,21，…，所以c6＝162＝256.答案：2562．在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式an＝2n＋1，设连续10项为ai＋1，ai＋2，ai＋3，…，ai＋10，i∈N，设漏掉的一项为ai＋k,1≤k≤10，由－ai＋k＝185，得(2i＋3＋2i＋21)×5－2i－2k－1＝185，即18i－2k＝66，即9i－k＝33，所以34≤9i＝k＋33≤43,3<≤i≤<5，所以i＝4，此时，由36＝33＋k得k＝3，所以ai＋k＝a7＝15，故此连续10项的和为200.答案：2003．已知数列{an}中，对任意的n∈N*，若满足an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝s(s为常数)，则称该数列为4阶等和数列，其中s为4阶公和；若满足an·an＋1·an＋2＝t(t为常数)，则称该数列为3阶等积数列，其中t为3阶公积．已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列，且满足＝＝＝2；数列{qn}为公积为1的3阶等积数列，且q1＝q2＝－1，设Sn为数列{pn·qn}的前n项和，则S2020＝________.解析：由题意可知，p1＝1，p2＝2，p3＝4，p4＝8，p5＝1，p6＝2，p7＝4，p8＝8，p9＝1，p10＝2，p11＝4，p12＝8，p13＝1，…，又{pn}是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，q1＝－1，q2＝－1，q3＝1，q4＝－1，q5＝－1，q6＝1，q7＝－1，q8＝－1，q9＝1，q10＝－1，q11＝－1，q12＝1，q13＝－1，…，又{qn}是3阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{pn·qn}，每12项循环一次，易求出p1·q1＋p2·q2＋…＋p12·q12＝－15，故S2020＝－15×168－1－2＋4－8＝－2527.答案：－25274．若无穷数列{an}满足：a1≥0，当n∈N*，n≥2时，|an－an－1|＝max{a1，a2，…，an－1}(其中max{a1，a2，…，an－1}表示a1，a2，…，an－1中的最大项)，有以下结论：①若数列{an}是常数列，则an＝0(n∈N*)；②若数列{an}是公差d≠0的等差数列，则d＜0；③若数列{an}是公比为q的等比数列，则q＞1；④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有an＋T＝an，则a1是数列{an}的最大项．其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：①若数列{an}是常数列，则|an－an－1|＝max{a1，a2，…，an－1}＝0，所以an＝0(n∈N*)，①正确；②若数列{an}是公差d≠0的等差数列，则|an－an－1|＝max{a1，a2，…，an－1}＝|d|，所以an有最大值，因此an不可能递增且d≠0，所以d＜0，②正确；③若数列{an}是公比为q的等比数列，则a1＞0，且|a2－a1|＝a1＝|q－1|a1，所以|q－1|＝1，所以q＝2或q＝0，又因为q≠0，所以q＝2，所以q＞1，③正确；④若存在正整数T，对任意n∈N*，都有an＋T＝an，假设在a1，a2，…，aT中ak最大，则a1，a2，…，an中都是ak最大，则|a2－a1|＝a1，且|aT＋2－aT＋1|＝ak，即|a2－a1|＝ak，所以ak＝a1，所以a1是数列{an}的最大项，④正确．故答案为：①②③④.答案：①②③④5．(2019·南通一调)在正项等比数列{an}和正项等差数列{bn}中，已知a1，a2019的等比中项与b1，b2019的等差中项相等，且＋≤1，当a1010取得最小值时，等差数列{bn}的公差d的值为________．解析：由已知得，a1010＝＝≥＝＋≥＋2＝，当且仅当即b1＝3，b2019＝6时取等号，此时公差d＝＝.答案：6．若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.①求{an}的通项公式；②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*)．求证：{an}为“等比源数列”．解：(1)①由an＋1＝2an－1，得an＋1－1＝2(an－1)，且a1－1＝1，所以数列{an－1}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－1＝2n－1.所...
