(时间：50分钟满分：80分)解答题(每小题10分，共80分)1．已知点A在变换T：→＝作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B.若点B的坐标为(－3,4)，求点A的坐标．解＝.设A(a，b)，则由＝，得所以即A(－2,3)．2．(2011·扬州调研)已知在一个二阶矩阵M对应变换的作用下，点A(1,2)变成了点A′(7,10)，点B(2,0)变成了点B′(2,4)，求矩阵M.解设M＝，则＝，＝，即解得所以M＝.3．(2011·南京模拟)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解设P(x0，y0)为曲线C：xy＝1上的任意一点，它在矩阵M＝对应的变换作用下得到点Q(x，y)由＝，得解得因为P(x0，y0)在曲线C：xy＝1上，所以x0y0＝1.所以×＝1，即x2－y2＝4.所以所求曲线C1的方程为x2－y2＝4.4．(2011·盐城调研)已知矩阵M＝的一个特征值为3，求其另一个特征值．解矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4.因为λ1＝3为方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1，由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1.5．(2011·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值．解在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)．A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′.因为＝，所以点A′的坐标为(－2，－2b)；＝，所以点B′的坐标为(－2a，－8)．由题意，点A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.6．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2，0)，C(－2,1)，设k为非零实数，M＝，N＝，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解由题设得MN＝＝.由＝，＝，，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知|k|＝2×1＝2.所以k的值为－2或2.7．(2011·镇江调研)求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝的变换作用下的曲线方程．解设P′(x′，y′)是圆C：x2＋y2＝4上的任一点，设P(x，y)是P′(x′，y′)在矩阵A＝对应变换作用下新曲线上的对应点，则＝＝，即所以将代入x2＋y2＝4，得＋y2＝4，故方程为＋＝1.8．已知矩阵M＝，N＝.在平面直角坐标系中，设直线2x－y＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程．解由题设得MN＝＝，设(x，y)是直线2x－y＋1＝0上任意一点，点(x，y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x′，y′)，则有＝，即＝，所以因为点(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0，所以曲线F的方程为2x＋y＋1＝0.
