3个附加题专项强化练(一)选修4系列(理科)A组1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，已知圆O的直径AB＝4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE＝2CD，求△OCE的面积．解：设CD＝x，则CE＝2x.因为CA＝1，CB＝3，由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE，所以1×3＝2x2，解得x＝.取DE的中点H，连结OH，则OH⊥DE.因为EH＝CD＝，所以OH2＝OE2－EH2＝22－2＝，所以OH＝.又因为CE＝2x＝，所以△OCE的面积S＝OH·CE＝××＝.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点(2,3)变成点(3,4)．(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.解：(1)由题意，得＝，即解得(2)由(1)，得A＝.由矩阵的逆矩阵公式得B＝＝.所以B2＝＝.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ2＝x2＋y2，且得圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4，由ρ2－2ρcos＝2，得ρ2－2ρ(cosθ＋sinθ)＝2，x2＋y2－2(x＋y)＝2，故圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)联立方程两式相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y－1＝0，该直线的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0.D．[选修4－5：不等式选讲]解不等式：|x－2|＋x|x＋2|＞2.解：当x≤－2时，不等式化为(2－x)＋x(－x－2)＞2，即－x2－3x>0，解得－3＜x≤－2；当－2＜x＜2时，不等式化为(2－x)＋x(x＋2)＞2，即x2＋x>0，解得－2＜x＜－1或0＜x＜2；当x≥2时，不等式化为(x－2)＋x(x＋2)＞2，即x2＋3x－4>0，解得x≥2.所以原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1或x＞0}．2．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，圆O是△ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P，求证：＝.证明：连结CD，因为CP为圆O的切线，所以∠PCD＝∠PAC，又∠P是公共角，所以△PCD∽△PAC，所以＝，因为点D是劣弧BC的中点，所以CD＝BD，即＝.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，若A＝，求矩阵A的特征值．解：因为A＝＝＝，所以解得所以A＝.所以矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4，令f(λ)＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)与椭圆C：(θ为参数，a＞0)的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值．解：由题意，直线l的普通方程为2x＋y＝9，椭圆C的普通方程为＋＝1(0＜a＜3)，椭圆C的准线方程为y＝±，故＝9，解得a＝2(负值舍去)．D．[选修4－5：不等式选讲]求函数y＝3sinx＋2的最大值．解：y＝3sinx＋2＝3sinx＋4，由柯西不等式得y2＝(3sinx＋4)2≤(32＋42)(sin2x＋cos2x)＝25，当且仅当4sinx＝3|cosx|，即sinx＝，|cosx|＝时等号成立，所以ymax＝5.所以函数y＝3sinx＋2的最大值为5.3．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M.(1)若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；(2)若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN.解：(1)设AM＝t，则BM＝8－t(0
