专题2三角函数、解三角形、平面向量第7讲平面向量题型一|平面向量的概念与运算(1)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝________.(2)已知向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若(λa＋b)∥b，则λ＝________.(3)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(1)AD(2)0(3)[(1)设AB＝a，AC＝b，则EB＝－b＋a，FC＝－a＋b，从而EB＋FC＝＋＝(a＋b)＝AD.(2)由题意得λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，由(λa＋b)∥b得，(λ＋4)×(－2)－(－3λ－2)×4＝0，解得λ＝0.(3)如图，DE＝DB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝.]【名师点评】1.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形．使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.1．如图7－1，在△ABC中，BO为边AC上的中线，BG＝2GO，设CD∥AG，若AD＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ的值为________．图7－1[因为BG＝2GO，所以AG＝AB＋AO＝AB＋AC.又CD∥AG，可设CD＝mAG.从而AD＝AC＋CD＝AC＋AB＋AC＝AC＋AB.因为AD＝AB＋λAC，所以＝，λ＝1＋＝.]2．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图7－2所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.图7－24[以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，则＝4.]3．如图7－3，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB＝a，AC＝b，且CE＝xa＋yb，则x＋y＝________.图7－3－[如图，设FB的中点为M，连结MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．法一：因为AB＝a，AC＝b，D为BC的中点，所以AD＝(a＋b)．所以AE＝AD＝(a＋b)．所以CE＝CA＋AE＝－AC＋AE＝－b＋(a＋b)＝a－b.所以x＝，y＝－，所以x＋y＝－.法二：易得EF＝MD，MD＝CF，所以EF＝CF，所以CE＝CF.因为CF＝CA＋AF＝－AC＋AF＝－b＋a，所以CE＝＝a－b.所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.]题型二|平面向量的数量积(1)(2014·江苏高考)如图7－4，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．图7－4(2)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．【导学号：19592023】(1)22(2)[(1)由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以·＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.(2)因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0，所以(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0.因为向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，所以(λ－1)|AB||AC|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]【名师点评】求平面向量的数量积的两种方法1．定义法：a·b＝|a||b|·cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；2．坐标法：当a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.1．(2016·盐城三模)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．[ a＝(4，－3)，∴|a|＝5，又|b|＝1，|a－b|＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.]2．如图7－5，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，DC＝2BD，则AD·BC的值为________．图7－5－2[ BC＝AC－AB，∴AD·BC＝(AB＋BD)·BC＝·(AC－AB)＝·(AC－AB)＝－AB2＋AC2＋AB·AC＝－×9＋×9＋×3×3×＝－6＋3＋1＝－2.]3．(2016·南通调研一)已知边长为4的正三角形AB...
