专题限时集训(十四)空间几何体(建议用时：45分钟)1．(2014·盐城模拟)已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是________．18[设底面正六边形外接圆半径为r，正六棱锥的高为h，则r＝3，h＝＝4，故V＝Sh＝×6××4＝18.]2．(2016·苏锡常镇调研二)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．[由题意可知V1＝a3，S1＝6a2，V2＝×πr2×r＝，S2＝πr2，由＝得a＝r，所以＝＝.]3．如图13－5，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.图13－56[连结AC交BD于O，在长方体中， AB＝AD＝3，∴BD＝3且AC⊥BD.又 BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC.又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO为四棱锥A－BB1D1D的高且AO＝BD＝. S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6，∴VA－BB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO＝×6×＝6(cm3)．]4．(2013·江苏高考)如图13－6，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.图13－61∶24[设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝×S·h＝Sh＝V2，故V1∶V2＝1∶24.]5．已知三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P－ABC的体积为________．9[设棱长为a，由题意知该三棱锥表面展开后得到一个边长为2a的正三角形，故有＝2，解得a＝3.设三棱锥的高为h，则h2＝a2－2，所以h＝2，所以VP－ABC＝S△ABC·h＝××2＝9.]6．如图13－7，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．图13－7[VD1－EDF＝VF－DED1，△DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥F－DED1的高即为正方体的棱长，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝S△DED1·h＝×DD1×AD×AB＝.]7．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．【导学号：19592042】[如图，由题意知，在三棱锥A－PEF中，PA，PE，PF两两垂直，且PE＝PF＝1，PA＝AB＝2，所以VA－PEF＝S△PEF·AP＝××2＝.]8．正三棱锥S－ABC中，BC＝2，SB＝，D，E分别是棱SA，SB上的点，Q为边AB的中点，SQ⊥平面CDE，则三角形CDE的面积为________．[根据题意在正三棱锥S－ABC中，Q为边AB的中点，故可得AB⊥平面SCQ，则AB⊥SQ，又由SQ⊥平面CDE，故DE∥AB，假设DE∩SQ＝F，又在△SCQ中，SC＝CQ＝，SQ＝，则CF＝＝，故S△CDE＝×1×＝.]9．(2016·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.5[ 2πr1＝×10π，∴r1＝，同理r2＝，r3＝，∴r1＋r2＋r3＝＝5.]10．(2016·苏北三市三模)已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为60πcm2，则此圆锥的体积为________cm3.96π[设圆锥的底面半径为r，则S侧＝πr×10＝60π，∴r＝6.∴圆锥的高h＝＝8.∴圆锥的体积V＝πr2h＝π×36×8＝96π.]11．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为________．π[如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，从而三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线．由题意解得所以长方体的对角线长为＝，从而三棱锥外接球的体积为V＝π·3＝π.]12．用6根木棒围成一个棱锥，已知其中有两根的长度为cm和cm，其余四根的长度均为1cm，则这样的三棱锥的体积为________cm3.【导学号：19592043】[由题意知该几何体如图所示，SA＝SB＝SC＝BC＝1，AB＝，AC＝，则∠ABC＝90°，取AC的中点O，连结SO，OB，则SO⊥AC，所以SO＝＝，OB＝AC＝，又SB＝1，所以SO2＋OB2＝SB2，所以∠S...
