第25讲选修4－4：坐标系与参数方程题型一|极坐标方程及其应用(2016·南通一模)在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sinθ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．[解]以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.圆C的平面直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0,2)．即A的直角坐标为(，).4分直线AC的斜率kAC＝＝－1.所以，直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，8分极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsin＝2.10分【名师点评】求解与极坐标有关的问题，主要有两种方法：一是直接利用极坐标求解；二是转化为直角坐标后，用直角坐标求解，使用后一种方法时应注意若结果要求是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．[解]在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0).3分因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC＝＝1，8分于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.10分题型二|参数方程及其应用已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解]曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.2分曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，6分其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.10分【名师点评】1.将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[解](1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.5分(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，解得－2≤a≤2.10分题型三|极坐标方程与参数方程的综合应用将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[解](1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得3分由x＋y＝1得x2＋2＝1，即曲线C的方程为(t为参数).5分(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，8分于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.10分【名师点评】1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．2．研究极坐标系下的有关问题，一般的思路是先将极坐标化为直角坐标，然后再求解．1．在直角坐标系xOy中，已知点P(0，)，曲线C的参数方程为(φ为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝.(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；(2)设直线l与曲线C的两个交点为A，B，求|PA|·|PB|的值．[解](1)直线l：2ρcos＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝，∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝，∴点P在直线上.5分(2)直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为＋＝1.7分将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得32＋2＝15，∴t2＋2t－8＝0，设两根为t1，t2，∴|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|－8|＝8.10分2．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点M(1,2)，倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C：ρ＝6cosθ.若直线l与圆C相交于A，B两点，求MA·MB的值．[解]直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9.3分直线l的参数方程代入圆C的普通方程，得t2＋2(－1)t－1...
