专题过关检测(二十二)坐标系与参数方程1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),,(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=,求P的极坐标.解:(1)由题设可得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ,所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ,M2的极坐标方程为ρ=2sinθ,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知:若0≤θ≤,则2cosθ=,解得θ=;若≤θ≤,则2sinθ=,解得θ=或θ=;若≤θ≤π,则-2cosθ=,解得θ=.综上,P的极坐标为或或或.2.曲线C的参数方程为(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=.(1)写出C的普通方程,并用(α为直线的倾斜角,t为参数)的形式写出直线l的一个参数方程;(2)l与C是否相交?若相交,求出两交点的距离,若不相交,请说明理由.解:(1)C的普通方程为+y2=1,由ρcos=得x-y-2=0,则直线l的倾斜角为,又直线l过点(2,0),得直线l的一个参数方程为(t为参数).(2)将l的参数方程代入C的普通方程得5t2+4t=0,解得t1=0,t2=-,显然l与C有两个交点,分别记为A,B,且|AB|=|t1-t2|=.3.(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),曲线C的参数方程为(β为参数,β∈[0,π]).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P,求点P的极坐标.解:(1)由曲线C的参数方程得(x-4)2+y2=4. β∈[0,π],∴曲线C的普通方程为(x-4)2+y2=4(y≥0). 直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),∴直线l的倾斜角为α,且过原点O(极点).∴直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R.(2)由(1)可知,曲线C为半圆弧.若直线l与曲线C恰有一个公共点P,则直线l与半圆弧相切.设P(ρ,θ)(ρ>0).由题意,得sinθ==,故θ=.而ρ2+22=42,∴ρ=2.∴点P的极坐标为.4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数,0≤β<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)已知直线l与曲线C相交于A,B两点,且|OA|-|OB|=2,求β.解:(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x-2)2+y2=3,即x2+y2-4x+1=0,所以曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0.(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ=β(ρ∈R).因为直线l与曲线C相交于A,B两点,所以设A(ρ1,β),B(ρ2,β)(ρ1>ρ2),联立得可得ρ2-4ρcosβ+1=0,因为Δ=16cos2β-4>0,所以cos2β>,所以|OA|-|OB|=ρ1-ρ2===2,解得cosβ=±,所以β=或.5.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M的极坐标方程为ρ=2cosθ,若极坐标系内异于O的三点A(ρ1,φ),B,C(ρ1,ρ2,ρ3>0)都在曲线M上.(1)求证:ρ1=ρ2+ρ3;(2)若过B,C两点的直线的参数方程为(t为参数),求四边形OBAC的面积.解:(1)证明:由题意得ρ1=2cosφ,ρ2=2cos,ρ3=2cos,则ρ2+ρ3=2cos+2cos=2cosφ=ρ1.(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t2-t=0,解得t1=0,t2=,∴在平面直角坐标系中,B,C(2,0),则ρ2=1,ρ3=2,φ=,∴ρ1=.∴四边形OBAC的面积S=S△AOB+S△AOC=ρ1ρ2sin+ρ1ρ3sin=.6.(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:ρ=4sin.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与直线l的交点为A,B,Q是曲线C上的动点,求△ABQ面积的最大值.解:(1)由消去t得x+y-5=0,所以直线l的普通方程为x+y-5=0.由ρ=4sin...