专题过关检测(二十三)不等式选讲1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)=(x-1)(x+|x-2|)≥0.所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.所以a的取值范围是[1,+∞).2.(2019·合肥第二次质量检测)已知f(x)=|3x+2|.(1)求f(x)≤1的解集;(2)若f(x2)≥a|x|恒成立,求实数a的最大值.解:(1)由f(x)≤1得|3x+2|≤1,所以-1≤3x+2≤1,解得-1≤x≤-,所以f(x)≤1的解集为.(2)f(x2)≥a|x|恒成立,即3x2+2≥a|x|恒成立.当x=0时,a∈R.当x≠0时,a≤=3|x|+恒成立.因为3|x|+≥2,所以a≤2.综上,知a的最大值是2.3.(2019·安徽考试试题)已知f(x)=|x-2|.(1)解不等式f(x)+1>f(2x);(2)若f(m)≤1,f(2n)≤2,求|m-2n-1|的最大值,并求此时实数m,n的取值.解:(1)原不等式等价于|x-2|+1>2|x-1|,∴或或∴-11,且f(ab)>|a|·f,证明:|b|>2.解:(1)|x-2|+|x-1|≥5,当x>2时,(x-2)+(x-1)≥5,x≥4;当1≤x≤2时,(2-x)+(x-1)≥5,1≥5,无解;当x<1时,(2-x)+(1-x)≥5,x≤-1.综上,不等式的解集为{x|x≥4或x≤-1}.(2)证明:f(ab)>|a|·f⇔|ab-2|>|a|·⇔|ab-2|>|b-2a|⇔(ab-2)2>(b-2a)2⇔a2b2+4-b2-4a2>0⇔(a2-1)(b2-4)>0.因为|a|>1,所以a2-1>0,所以b2-4>0,|b|>2.5.已知a,b∈(0,+∞),且2a4b=2.(1)求+的最小值;(2)若存在a,b∈(0,+∞),使得不等式|x-1|+|2x-3|≥+成立,求实数x的取值范围.解:(1)由2a4b=2可知a+2b=1,又因为+=(a+2b)=++4,由a,b∈(0,+∞)可知++4≥2+4=8,当且仅当a=2b时取等号,所以+的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x-1|+|2x-3|≥8,①所以x≤-.②无解,③所以x≥4.综上,实数x的取值范围为∪[4,+∞).6.(2020届高三·河北九校第二次联考)已知函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)解不等式f(x)>2;(2)记函数g(x)=f(x)+f(-x),若对任意的x∈R,不等式|k-1|2的解集为.(2)g(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|+(|2x+1|+|2x-1|)≥|(x-1)-(x+1)|+|(2x+1)-(2x-1)|=4,当且仅当即x∈时取等号,若对任意的x∈R,不等式|k-1|