专题过关检测（二十三）不等式选讲1．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)＝(x－1)(x＋|x－2|)≥0.所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以a的取值范围是[1，＋∞)．2．(2019·合肥第二次质量检测)已知f(x)＝|3x＋2|.(1)求f(x)≤1的解集；(2)若f(x2)≥a|x|恒成立，求实数a的最大值．解：(1)由f(x)≤1得|3x＋2|≤1，所以－1≤3x＋2≤1，解得－1≤x≤－，所以f(x)≤1的解集为.(2)f(x2)≥a|x|恒成立，即3x2＋2≥a|x|恒成立．当x＝0时，a∈R.当x≠0时，a≤＝3|x|＋恒成立．因为3|x|＋≥2，所以a≤2.综上，知a的最大值是2.3．(2019·安徽考试试题)已知f(x)＝|x－2|.(1)解不等式f(x)＋1>f(2x)；(2)若f(m)≤1，f(2n)≤2，求|m－2n－1|的最大值，并求此时实数m，n的取值．解：(1)原不等式等价于|x－2|＋1>2|x－1|，∴或或∴－11，且f(ab)>|a|·f，证明：|b|>2.解：(1)|x－2|＋|x－1|≥5，当x>2时，(x－2)＋(x－1)≥5，x≥4；当1≤x≤2时，(2－x)＋(x－1)≥5,1≥5，无解；当x<1时，(2－x)＋(1－x)≥5，x≤－1.综上，不等式的解集为{x|x≥4或x≤－1}．(2)证明：f(ab)>|a|·f⇔|ab－2|>|a|·⇔|ab－2|>|b－2a|⇔(ab－2)2>(b－2a)2⇔a2b2＋4－b2－4a2>0⇔(a2－1)(b2－4)>0.因为|a|>1，所以a2－1>0，所以b2－4>0，|b|>2.5．已知a，b∈(0，＋∞)，且2a4b＝2.(1)求＋的最小值；(2)若存在a，b∈(0，＋∞)，使得不等式|x－1|＋|2x－3|≥＋成立，求实数x的取值范围．解：(1)由2a4b＝2可知a＋2b＝1，又因为＋＝(a＋2b)＝＋＋4，由a，b∈(0，＋∞)可知＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当a＝2b时取等号，所以＋的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x－1|＋|2x－3|≥8，①所以x≤－.②无解，③所以x≥4.综上，实数x的取值范围为∪[4，＋∞)．6．(2020届高三·河北九校第二次联考)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)解不等式f(x)>2；(2)记函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，若对任意的x∈R，不等式|k－1|2的解集为.(2)g(x)＝f(x)＋f(－x)＝|x－1|＋|x＋1|＋(|2x＋1|＋|2x－1|)≥|(x－1)－(x＋1)|＋|(2x＋1)－(2x－1)|＝4，当且仅当即x∈时取等号，若对任意的x∈R，不等式|k－1|
