第1讲平面向量的概念与线性运算1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是________个．[解析]a＋(－a)＝0，故③错．[答案]42．(2018·盐城模拟)给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确命题的序号为________．[解析]根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知，①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.[答案]①②④3．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝________．[解析]因为CB＝AB－AC＝a－b，又BD＝3DC，所以CD＝CB＝(a－b)，所以AD＝AC＋CD＝b＋(a－b)＝a＋b.[答案]a＋b4．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的个数为________．[解析]BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.所以正确命题为②③④.[答案]35．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________．[解析]因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|AB＋AC|＝2.[答案]26．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________(用a，b表示)．[解析]由AN＝3NC得4AN＝3AC＝3(a＋b)，AM＝a＋b，所以MN＝(a＋b)－＝－a＋b.[答案]－a＋b7．(2018·河北省冀州中学高三月考改编)若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状为________．[解析]根据题意有|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，即|AB＋AC|＝|AB－AC|，从而得到AB⊥AC，所以三角形为直角三角形．[答案]直角三角形8．已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，若a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________．[解析]因为a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．所以a－tb与a－(a＋b)共线．即a－tb与a－b共线．所以存在实数λ，使a－tb＝λ，所以解得λ＝，t＝，即t＝时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．[答案]9．已知点P在△ABC所在的平面内，若2PA＋3PB＋4PC＝3AB，则△PAB与△PBC的面积的比值为________．[解析]由2PA＋3PB＋4PC＝3AB，得2PA＋4PC＝3AB＋3BP，所以2PA＋4PC＝3AP，即4PC＝5AP.所以AP＝PC，P点在边AC上，且＝，设△ABC中，AC边上的高为h，则＝＝＝.[答案]10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．[解析]由题意可求得AD＝1，CD＝，所以AB＝2DC.因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC(0≤λ≤1)．因为AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，所以＝1，即μ＝.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.[答案]11．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋mj，OB＝ni＋j，OC＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．[解]AB＝OB－OA＝(n＋2)i＋(1－m)j，BC＝OC－OB＝(5－n)i－2j.因为点A，B，C在同一条直线上，所以AB∥BC，从而存在实数λ使得AB＝λBC.即(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i－2j]．所以解得或12．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.[证明](1)若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)，所以OP－OB＝m(OA－OB)，即BP＝mBA，所以BP与BA共线．又因为BP与BA有公共点B，所以A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则BP与BA共线，故存在实数λ，使BP＝λBA，所以OP－OB＝λ(OA－OB)．又OP＝mOA＋nOB，故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.因为O，A，B不共线，所以OA，OB不共线，所以所以m＋n＝1.
