高考数学二轮复习 专项小测22 “17～19题”＋“二选一” 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专项小测(二十二)“17～19题”＋“二选一”时间：45分钟满分：46分17．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝＜b1，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Wn，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小．解：(1)由a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，可得an＋1＝an＋1，即数列{an}为首项和公差均为1的等差数列，可得an＝n.(3分)数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝＜b1，n∈N*.设公比为q，可得b1＝4b1q2，可得q＝±，当q＝时，b1＝，可得b1＝＞，q＝－不成立，舍去，所以bn＝n.(6分)(2)因为＝＝－，(8分)所以Wn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＜1，(10分)所以Tn＝＝1－∈(0,1)，则＞1，即有Wn＜.(12分)18．(12分)在五边形AEBCD中，BC⊥CD，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC，AE⊥BE，AE＝BE(如图)，将△ABE沿AB折起，使平面ABE⊥平面ABCD，线段AB的中点为O(如图)．(1)求证：平面ABE⊥平面DOE；(2)求平面EAB与平面ECD所成的锐二面角的大小．解：(1)由题意AB＝2CD，O是线段AB的中点，则OB＝CD.又CD∥AB，则四边形OBCD为平行四边形，又BC⊥CD，则AB⊥OD.(2分)因为AE＝BE，OB＝OA，则EO⊥AB.又EO∩DO＝O，则AB⊥平面EOD.(4分)又AB⊂平面ABE，故平面ABE⊥平面EOD.(6分)(2)由(1)易知OB，OD，OE两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，△EAB为等腰直角三角形，且AB＝2CD＝2BC，则OA＝OB＝OD＝OE，取CD＝BC＝1，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)，则CD＝(－1,0,0)，DE＝(0，－1,1)．设平面ECD的法向量为n＝(x，y，z)，则则令z＝1，得平面ECD的一个法向量n＝(0,1,1)．(8分)因为OD⊥平面ABE，所以平面ABE的一个法向量为OD＝(0,1,0)．(10分)设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈OD，n〉|＝＝.因为θ∈(0°，90°)，所以θ＝45°，故平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为45°.(12分)19．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且AC·BC＝0，|OC－OB|＝2|AB＋BC|.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数λ，使得PQ＝λAB？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ的长．解：(1) AC·BC＝0，∴∠ACB＝90°. |OC－OB|＝2|AB＋BC|，即|BC|＝2|AC|，∴△AOC是等腰直角三角形． A，∴C，而点C在椭圆上，∴＋＝1，a＝2，∴b2＝，∴所求椭圆方程为＋＝1.(2)对于椭圆上两点P，Q. ∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x＝1对称，令kPC＝k，则kCQ＝－k. C，∴PC的直线方程为y＝k＋1，①QC的直线方程为y＝－k＋1,②将①代入＋＝1，得x2－6kx＋3k2－6k－1＝0，③ C在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，∴xP＝，以－k替换k，得到xQ＝，∴kPQ＝＝. ∠ACB＝90°，A，C，弦BC过椭圆的中心O，∴A，B，∴kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得PQ＝λAB，|PQ|＝＝≤，当9k2＝时，即k＝±时取等号，|PQ|max＝.又|AB|＝，λmax＝＝，∴λ取得最大值时的PQ的长为.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.(1)设点M，N分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|MN|的最大值；(2)设直线l：(t为参数)与曲线C1交于P，Q两点，且|PQ|＝1，求直线l的方程．解：(1)由题意知，曲线C1的普通方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心C1(3,0)，半径r1＝2.曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，圆心C2(0,0)，半径r2＝2.∴|MN|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝3＋2＋2＝7.(5分)(2)将直线l的参数方程代入(x－3)2＋y2＝4中，得(tcosα－4)2＋(tsinα)2＝4，整理得t2－8tcosα＋12＝0，∴Δ＝64cos2α－48>0.设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8cosα，t1t2＝12.由|PQ|＝1...