专项小测(二十五)“20题、21题”时间：45分钟满分：24分20.(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为k(k≠0)，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，求证：为定值．解：(1)由题意可知＋＝1，令x＝c得y＝±，则|PQ|＝，则S四边形APBQ＝|AB|·|PQ|＝×2a×＝2b2＝6，解得b2＝3.∵e＝＝，∴a＝2c，又a2＝b2＋c2，∴a2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)证明：由题意可知F(1,0)，直线l的方程为y＝k(x－1)．由可得(4k2＋3)x2－8k2x＋(4k2－12)＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.设PQ的中点为N，则N，则MN的方程为y＋＝－.令y＝0，可得M，∴|MF|＝.∵|PQ|＝·＝·＝，∴＝为定值．21．(12分)已知函数f(x)＝x－＋ax(lnx－1)＋a－.(1)当a≤0时，证明：函数f(x)只有一个零点；(2)若函数f(x)的极大值等于0，求实数a的取值范围．解：(1)由题可知f′(x)＝1－x＋alnx.令g(x)＝1－x＋alnx，则g′(x)＝(x＞0)，所以当a≤0时，g′(x)＝＜0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2分)又因为f′(1)＝g(1)＝0，所以，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)≤f(1)＝0，所以f(x)只有一个零点．(4分)(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)的极大值等于0，符合题意．①当0＜a＜1时，因为当x∈(0，a)时，g′(x)＞0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＜0且g(1)＝0，g()＝1－－1＝－＜0，故存在x1∈，满足f′(x1)＝0.当x∈(0，x1)，f′(x)＜0，当x∈(x1，a)，f(x)＞0.又x∈(a,1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)，f′(x)＜0，所以此时x＝1是f(x)的唯一极大值点，且f(1)＝0，符合题意．(6分)②当a＝1时，因为x∈(0,1)，g′(x)＞0；x∈(1，＋∞)，g′(x)＜0，且g(1)＝0.所以g(x)≤0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递减无极值点，不合题意．(8分)③当a＞1时，因为当x∈(0，a)时，g′(x)＞0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＜0，且g(1)＝0，g(ea)＝1－ea＋a2.令W(a)＝，则W′(a)＝－≤0；所以W(a)＜W(1)＜1，所以1＋a2＜ea，即g(ea)＜0.又因为a＜1＋a2＜ea，故存在x0∈(a，ea)，满足f′(x0)＝0，x∈(a，x0)，f′(x)＞0；x∈(x0，ea)，f′(x)＜0，此时x＝1是f(x)的唯一极小值点，x＝x0是f(x)的唯一极大值点，f(x0)＞f(1)＝0，不合题意．(11分)综上可得：a＜1.(12分)
