第3讲等比数列及其前n项和1．在等比数列{an}中，若首项a1＝1，公比q＝4，则该数列前5项和S5＝________.[解析]在等比数列{an}中，因为a1＝1，q＝4，所以S5＝＝＝341.[答案]3412．(2018·邯郸大名一中月考改编)若等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，则公比q＝________．[解析]q＝＝2.[答案]23．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________．[解析]设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.[答案]4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an＝________.[解析]Sn＝an＋，Sn－1＝an－1＋(n≥2)，相减得an＝an－an－1，即an＝－2an－1(n≥2)．又S1＝a1＋，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.[答案](－2)n－15．(2018·常州第二次质量预测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________．[解析]由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.[答案]286．(2018·南京高三模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为________．解析：设等比数列{an}的公比为q(q＞0且q≠1)，则由a3－a1＝2，得a1＝.因为a3－a1＝2＞0，所以q＞1，所以a5＝a1q4＝.令q2－1＝t＞0，所以a5＝2≥8，当且仅当t＝1，即q＝时，等号成立，故a5的最小值为8.答案：87．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________．[解析]由已知可得a1＝f(1)＝，令x＝n，y＝1，所以f(n)·f(1)＝f(n＋1)，所以＝f(1)＝，所以{an}是以f(1)为首项，f(1)为公比的等比数列．所以an＝f(n)＝[f(1)]n＝，所以Sn＝＋＋＋…＋＝＝1－.因为n∈N*，所以≤Sn<1.[答案]8．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是________．[解析]因为a5＝a2q3，所以＝2×q3，所以q＝，所以a1＝＝4，所以an＝4×＝23－n，所以akak＋1＝·＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＋＋…＋＝32×＝32×＝∈.[答案]9．已知{an}是首项为1的等比数列，若Sn是{an}的前n项和，且28S3＝S6，则数列的前4项和为________．[解析]设数列{an}的公比为q.当q＝1时，由a1＝1，得28S3＝28×3＝84.而S6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q≠1时，由28S3＝S6及首项为1，得＝，解得q＝3.所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.所以数列的前4项和为1＋＋＋＝.[答案]10．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N＋，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．解析：因为＝an，令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，Sn＝＝2n＋1－2.答案：2n＋1－211．已知等差数列{an}满足a2＝2，a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{bn}中，b1＝1，b2＋b3＝a4，求{bn}的前n项和Tn.[解](1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得所以a1＝0，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－2.(2)设等比数列{bn}的公比为q，则由已知得q＋q2＝a4，因为a4＝6，所以q＝2或q＝－3.因为等比数列{bn}的各项均为正数，所以q＝2.所以{bn}的前n项和Tn＝＝＝2n－1.12．(2018·杭州模拟)设等差数列{an}的首项a1为a(a≠0)，前n项和为Sn.(1)若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(2)证明：对∀n∈N*，Sn，Sn＋1，Sn＋2不构成等比数列．[解](1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na＋d，所以S1＝a，S2＝2a＋d，S4＝4a＋6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1·S4，即(2a＋d)2＝a·(4a＋6d)，整理得d(2a－d)＝0，所以d＝0或d＝2a.当d＝0时，an＝a(a≠0)；当d＝2a时，an＝a＋(n－1)d＝(2n－1)a(a≠0)．(2)证明：不妨设存在m∈N*，使得Sm，Sm＋1，Sm＋2构成等比数列，则S＝Sm·Sm＋2，得a2＋mad＋m(m＋1)d2＝0，(*)若d＝0，则a＝0，这与已知矛盾；若d≠0，要使数列{an}的首项a存在，则必有(*)式的Δ≥0，然而Δ＝(md)2－2m(m＋1)d2＝－(2m＋m2)·d2<0，矛盾．综上所述，对∀n∈N*，Sn，Sn＋1...
