第6节空间向量及其运算【选题明细表】知识点、方法题号空间直角坐标系3,5,14空间向量的线性运算4,6,8,10空间向量的坐标运算及数量积1,2,7,9,11,15综合问题12,13,16基础对点练(时间:30分钟)1.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(C)(A)a∥c,b∥c(B)a∥b,a⊥c(C)a∥c,a⊥b(D)以上都不对解析:因为c=2a,所以a∥c,又a·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+0+4=0,所以a⊥b.故选C.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为(A)(A)-1,2(B)1,-2(C)1,2(D)-1,-2解析:由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得3.(2014高考北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分别是三棱锥DABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则(D)(A)S1=S2=S3(B)S2=S1且S2≠S3(C)S3=S1且S3≠S2(D)S3=S2且S3≠S1解析:根据题目条件,在空间直角坐标系Oxyz中作出该三棱锥DABC,显然S1=×2×2=2,S2=S3=×2×=.故选D.4.(2014高考广东卷)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(B)(A)(-1,1,0)(B)(1,-1,0)(C)(0,-1,1)(D)(-1,0,1)解析:设b=(1,-1,0),则cos
===,即b与a的夹角为60°.故选B.5.(2016福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为(A)(A)a(B)a(C)a(D)a解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N(a,a,).设M(x,y,z).因为点M在AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M(,,),所以||==a.故选A.6.(2016晋江模拟)设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则x+y+z等于(C)(A)1(B)(C)(D)2解析:如图所示,取BC的中点E,连接AE.=,所以=x+y+z,所以=x+y+z,又G1,A,B,C四点共面,所以x+y+z=1,所以x+y+z=.7.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·2b=-2,则x=.解析:因为c-a=(0,0,1-x),所以(c-a)·2b=(0,0,1-x)·2(1,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.答案:28.已知空间四边形OABC,点M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=.解析:如图所示,=(+)=[(-)+(-)]=(+-2)=(+-)=(b+c-a).答案:(b+c-a)9.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.解析:设P(x,y,z),则=(x-1,y-2,z-1).=(-1-x,3-y,4-z).由=2得点P坐标为(-,,3),又D(1,1,1),所以||=.答案:10.已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCDA′B′C′D′.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点,且BN∶NC′=3∶1,设=α+β+γ,试求α,β,γ之值.解:=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.11.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.解:(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又|a|==,|b|==,所以cos===-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.(2)法一因为ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,所以k=2或k=-,所以当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.法二由(1)知|a|=,|b|=,a·b=-1,所以(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.能力提升练(时间:15分钟)12.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(C)(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)不确定解析:因为M为BC中点,所以=(+).所以·=(+)·=·+·=0.所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.13.(2015宁波检测)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)(A)斜交(B)平行(C)垂直(D)不确定解析:建立如图所示的坐标系,由于A1M=AN=,则M(a,,),N(,,a),=(-,0,),又C1D1⊥平面BB1C1C,所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量,因为·=0,所以⊥,所以MN∥平面BB1C1C.14.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为.解析:由题意知·=0,||=||,又=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),所以解得x=2.答案:215.如图所示,已知空间四边形OAB...
