第3节椭圆【选题明细表】知识点、方法题号椭圆的定义与标准方程1,7椭圆的几何性质2,3,5,6,10,13直线与椭圆的位置关系4,8,9,11,12,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知椭圆与双曲线-=1的焦点相同,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,那么椭圆的离心率等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10,所以根据椭圆的定义可得2a=10a=5,⇒则c==4,e==.2.(2016广东四校联考)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得椭圆的标准方程为+=1,所以a2=,b2=,所以c2=a2-b2=,所以e2==,所以e=.3.(2015浙江金丽衢十二校二联)若椭圆C:+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F1PF2等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得a=3,c=,则|PF2|=2.在△F2PF1中,由余弦定理可得cos∠F2PF1==-.又因为∠F2PF1∈(0,π),所以∠F2PF1=.故选C.4.(2015运城二模)已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(B)(A)(B)-(C)2(D)-2解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减,得+=0,所以=-,所以k==-.5.若P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上的一点,且·=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为·=0,所以PF1⊥PF2,在Rt△PF1F2中,设|PF2|=1,则|PF1|=2,|F1F2|=,所以2a=|PF1|+|PF2|=3,2c=,故此椭圆的离心率e==.6.(2015沈阳二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆离心率的取值范围为(D)(A)(0,-1)(B)(,1)(C)(0,)(D)(-1,1)解析:根据正弦定理得=,(*)所以由=可得=,即==e,所以|PF1|=e|PF2|,又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,则|PF2|=,因为a-c<|PF2|
b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则该椭圆的离心率e=.解析:因为点A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以点A,B的坐标分别是(-,0),(0,a).设点M的坐标是(x0,y0),由|AM|=e|AB|,得(*)因为点M在椭圆上,所以+=1,将(*)式代入,得+=1,整理得,e2+e-1=0,解得e=.答案:10.如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.解:(1)因为|AF1|=|AF2|=a,且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c,所以2a2=4c2,所以a=c,所以e==.(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,解得x=,y=-,代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,所以b2=a2-c2=2.所以椭圆方程为+=1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015宜宾二诊)已知直线l:y=kx与椭圆C:+=1(a>b>0)交于A,B两点,F为椭圆C的左焦点,且·=0.若∠ABF∈(0,],则椭圆C的离心率的取值范围为(D)(A)(0,](B)(0,](C)[,](D)[,1)解析:设椭圆C的右焦点为F′,连接AF′,BF′,因为·=0,所以AF⊥BF,又直线l:y=kx过原点O,所以根据椭圆的对称性知点A,B关于原点对称,所以四边形AFBF′是矩形,所以|AB|=|FF′|=2c(其中c=),所以在直角三角形AFB中,|AF|=|AB|sin∠ABF=2csin∠ABF,|BF|=|AB|cos∠ABF=2ccos∠ABF,又根据椭圆的定义知|AF|+|AF′|=2a,所以2csin∠ABF+2ccos∠ABF=2a,所以离心率e===,又∠ABF∈(0,],所以<∠ABF+≤,所以b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等...
