课时跟踪检测（四十）空间向量的运算及应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝________.解析：由b＝x－2a，得x＝4a＋2b＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．答案：(0,6，－20)2．(2019·汇龙中学检测)若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则直线l和平面α的位置关系为________．解析：因为a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，所以n＝－2a，即a∥n.所以l⊥α.答案：l⊥α3．(2018·睢宁中学检测)已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示向量MN＝________.解析：如图所示，连结ON，AN，则ON＝(OB＋OC)＝(b＋c)，AN＝(AC＋AB)＝(OC－2OA＋OB)＝(－2a＋b＋c)＝－a＋b＋c，所以MN＝(ON＋AN)＝－a＋b＋c.答案：－a＋b＋c4．若点C(4a＋1,2a＋1,2)在点P(1,0,0)，A(1，－3,2)，B(8，－1,4)所确定的平面上，则a＝________.解析：由题意得PA＝(0，－3,2)，PB＝(7，－1,4)，PC＝(4a,2a＋1,2)，根据共面向量定理，设PC＝xPA＋yPB，则(4a,2a＋1,2)＝x(0，－3,2)＋y(7，－1,4)＝(7y，－3x－y，2x＋4y)，所以解得x＝－，y＝，a＝.答案：5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：因为α∥β，所以u1∥u2，所以＝＝，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－36．(2019·滨海检测)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(－2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________．解析： AB＝(2,3，－1)，AC＝(－2,1,3)．∴AB·AC＝－4＋3－3＝－4，|AB|＝＝，|AC|＝＝.∴cos∠BAC＝＝＝－.∴sin∠BAC＝＝.故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝|AB|·|AC|·sin∠BAC＝××＝6.答案：6二保高考，全练题型做到高考达标1．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点．若AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的一个法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．(填序号)解析： AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，∴AB⊥AP，即AP⊥AB，故①正确． AP·AD＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，∴AP⊥AD，即AP⊥AD，故②正确．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故AP是平面ABCD的一个法向量，故③正确． BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴≠≠，∴AP与BD不平行，故④错误．答案：①②③2．已知a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________．解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1,1,2)．所以cos〈a，b〉＝＝＝.所以a与b的夹角为.答案：3．(2019·盐城中学检测)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0，1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，因为AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，则令x＝1，得m＝(1,1,1)．因为m＝－n，所以m∥n，所以α∥β.答案：α∥β4．已知正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将此三角形沿DE翻折，当AE⊥BD时，二面角ADEF的余弦值等于________．解析：不妨设GD＝GE＝1，则GA＝GF＝，AE＝BD＝2，由已知得∠AGF即为二面角ADEF的平面角，设其为θ.则AE·BD＝(GE－GA)·(BF＋FG＋GD)＝(GE－GA)·(2GE－GF－GE)＝(GE－GA)·(GE－GF)＝GE2－GE·GF－GA·GE＋GA·GF＝1－0－0＋·cosθ＝1＋3cosθ＝0，所以cosθ＝－，即当AE⊥BD时，二面角ADEF的余弦值等于－.答案：－5．(2019·南京调研)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．解析：AC12＝(AB＋AD＋AA1)2＝AB2＋AD2＋AA12＋2AB·AD＋2AB·AA1＋2AD·AA1＝16＋9＋25＋2×4×3×cos90°＋2×4×5×cos60°＋2×3×5×cos60°＝50＋20＋15＝85，即|AC1|＝.答案：6．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意...
