第27练立体几何中的计算问题题型一立体几何中的表面积、体积计算例1已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则三棱锥S—ABC的体积为________．破题切入点作出图形，可知三棱锥S－ABC的体积是两个三棱锥之和，通过三角形的边角关系，计算可得所求．答案解析如图，过A作AD垂直SC于D，连结BD.由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边，所以△SAC≌△SBC.由于AD⊥SC，所以BD⊥SC.由此得SC⊥平面ABD.所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝S△ABD·SC.由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4，所以AC＝2，SA＝2，由于AD＝＝.同理在Rt△BSC中也有BD＝＝.又AB＝，所以△ABD为正三角形，所以VS—ABC＝S△ABD·SC＝××()2·sin60°×4＝.题型二立体几何中的长度、距离的计算例2已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．破题切入点作出图形，关键是找到球心的位置．答案解析如图，作PM⊥面ABC，设PA＝a，则AB＝a，CM＝a，PM＝a.设球的半径为R，所以2＋2＝R2，将R＝代入上式，解得a＝2，所以d＝－＝.题型三立体几何中有关角度的计算例3(2013·山东改编)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为________．破题切入点如何找到线面角是该题的关键．答案解析如图所示，过P作PO垂直于平面ABC，则O为△ABC的中心，连结AO，则∠OAP是PA与平面ABC所成的角．SABC＝×××sin60°＝.∴＝S△ABC×OP＝×OP＝，∴OP＝.又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.总结提高(1)立体几何中有关表面积体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式作好辅助线等．(2)立体几何中有关长度和距离的求解要准确灵活转化，计算距离时要注意垂直距离如何找到有时利用等体积的方法．(3)立体几何中有关角度的范围关键把握角的范围和如何找到，然后就是求角的什么三角函数值，注意审题．1．(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案解析如图，设球心为O，半径为r，则Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以，该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.2．(2014·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________．答案2π解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.3．(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．答案解析因为AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝＝2R，R＝.4．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．答案60°解析取BC中点E，连结AE，则AE⊥平面BCC1B1，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.∴tan∠ADE＝.∴∠ADE＝60°.5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连结EF，在△PCD中，EF綊CD.又 AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又 EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.6．已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为________．答案(6－3)π解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1A＋O1O2＋O2C1＝，而O1A＝r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝r2， r1＋r1＋r2＋r2＝.∴r1＋r2＝，从而S1＋S2＝4πr＋4πr＝4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度...
