第39练二项式定理的两类重点题型——求和与求展开项题型一用公式求展开项例1若(＋)n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．破题切入点从第六项二项式系数最大可得n值，再利用展开式的通项公式即可．答案180解析依题意知：n＝10，∴Tr＋1＝C()10－r·()r＝C2r·x5－r，令5－r＝0，得r＝2，∴常数项为C22＝180.题型二赋值法求系数之和例2若(1＋2x)2n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n－1x2n－1＋a2nx2n，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝________.破题切入点令x＝±1可得关于各项系数的两个方程，联立方程即可求解．答案解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝3n；①令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n＝1.②①－②，可得a1＋a3＋…＋a2n－1＝.总结提高(1)在使用通项公式Tr＋1＝Can－rbr时，通项公式表示的是第r＋1项的值，而不是第r项的值，展开式中第r＋1项的二项式系数C与第r＋1项的系数不同．(2)二项展开式中项的系数的和或差可以通过对二项式展开式两端字母的赋值进行解决，一般是对x赋值为±1或0.另外要注意掌握(1＋x)n展开式中各项系数的绝对值的和就是展开式中各项系数的和，只需令x＝1即可．而要求(1－x)n的展开式中各项系数的绝对值的和，只需令x＝－1即可．1．(2014·四川改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．答案15解析因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.2．(2014·浙江改编)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________.答案120解析因为f(m，n)＝CC，所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.3．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为________．答案150解析M＝n＝4n，N＝2n⇒4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，Tr＋1＝(－1)rC·54－r·⇒r＝2，则(－1)2C·52＝150.4．设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a的值为________．答案12解析化51为52－1，用二项式定理展开．512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C522012－C522011＋…＋C×52×(－1)2011＋C×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，因为0≤a<13，所以a＝12.5．若(1＋x)(2－x)2013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2013x2013＋a2014x2014，则a2＋a4＋…＋a2012＋a2014＝________.答案1－22013解析采用赋值法，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2013＋a2014＝2，令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2013＋a2014＝0，把两式相加，得2(a0＋a2＋…＋a2014)＝2，所以a0＋a2＋…＋a2014＝1，又令x＝0，得a0＝22013，所以a2＋a4＋…＋a2012＋a2014＝1－22013.6．设f(x)是6展开式的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是______．答案[5，＋∞)解析由于Tr＋1＝Crx12－3r，故展开式中间的一项为T3＋1＝C·3·x3＝x3，f(x)≤mx⇔x3≤mx在上恒成立，即m≥x2，又x2≤5，故实数m的取值范围是m≥5.7．(2014·大纲全国)8的展开式中x2y2的系数为________．(用数字作答)答案70解析由Tr＋1＝C()8－r(－)r＝(－1)rCx8－yr－4知，要求x2y2的系数，则解得r＝4，∴x2y2的系数为(－1)4C＝70.8．(2014·山东)若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．答案2解析(ax2＋)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(ax2)6－r·()r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca6－3b3＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2＝2，故a2＋b2的最小值为2.9．已知(x＋)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．答案－6解析(x＋)6的二项展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r()r＝Carx6－，令6－＝0，得r＝4，则其常数项为Ca4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.10．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11，当x2的系数取得最小值时，f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．答案30解析由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，x2的系数为C＋22C＝＋2n(n...
