第十三篇几何证明选讲(选修41)第1节相似三角形的判定及有关性质【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用4相似三角形的判定与性质1,3直角三角形的射影定理21.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠A=∠C,AB∥CD.所以∠ABF=∠CEB.所以△ABF∽△CEB.(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,AB∥CD.所以△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.因为DE=CD,所以==,==.因为S△DEF=2,所以S△CEB=18,S△ABF=8.所以S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16.所以S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.2.已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D,DF⊥AC,垂足为F,DE⊥AB,垂足为E.求证:(1)AB·AC=AD·BC;(2)AD3=BC·BE·CF.证明:(1)因为∠BAC=90°,AD⊥BC,所以∠BAC=∠ADB,又因为∠B=∠B,所以△ABD∽△CBA,所以=,即AB·AC=AD·BC.(2)由题AD2=BD·DC,所以AD4=BD2·DC2=BE·BA·CF·CA=BE·CF·AD·BC,所以AD3=BC·BE·CF.3.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.(1)求证:△ABF∽△EAD;(2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长.(1)证明:因为AB∥CD,所以∠BAF=∠AED.又因为∠BFE=∠C,∠BFE+∠BFA=∠C+∠EDA,所以∠BFA=∠ADE.所以△ABF∽△EAD.(2)解:因为∠BAE=30°,所以∠AEB=60°,所以=sin60°=,又=,所以BF=·AD=.4.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,EF经过梯形对角线的交点O,且EF∥AD.(1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:因为EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥AD∥BC.因为EF∥BC,所以=,=.因为EF∥AD∥BC,所以=.所以=,所以OE=OF.(2)解:因为OE∥AD,所以=.由(1)知=,所以+=+==1.(3)证明:由(2)知+=1,所以+=2.又EF=2OE,所以+=2,所以+=.
