第5节三角恒等变换【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简求值1,2,7给值求值4,5,8,10给值求角3,9,11,12综合应用6,13,14,15,16基础对点练(时间:40分钟)1.化简等于(C)(A)-2(B)-(C)-1(D)1解析:===-1.故选C.2.(2015淮北师大附中模拟)cos4-sin4等于(D)(A)0(B)-(C)1(D)解析:cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos=.3.(2016咸阳月考)若函数sinα-cosα=-(0<α<),则α属于(B)(A)(0,)(B)(,)(C)(,)(D)(,)解析:sinα-cosα=sin(α-)=-,sin(α-)=-,由-<-<0,因为0<α<,所以-<α-<0,即<α<,故选B.4.(2015高考重庆卷)若tanα=2tan,则等于(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:====,因为tanα=2tan,所以==3.故选C.5.已知2sinθ=1+cosθ,则tan等于(C)(A)2(B)(C)或不存在(D)不存在解析:当1+cosθ=0时,tan不存在.当1+cosθ≠0时,tan=====.6.已知函数f(x)=sin(-x)-cos(x+),x∈R,则f(x)(B)(A)周期为π,且图象关于点(,0)对称(B)最大值为2,且图象关于点(,0)对称(C)周期为2π,且图象关于点(-,0)对称(D)最大值为2,且图象关于x=对称解析:f(x)=sin(-x)-cos(x+)=sin[π-(x+)]-cos(x+)=sin(x+)-cos(x+)=2[sin(x+)-cos(x+)]=2sin[(x+)-)=2sin(x-),因为x∈R,所以x-∈R,所以-1≤sin(x-)≤1,则f(x)的最大值为2.因为ω=1,所以周期T==2π.当x-=kπ(k∈Z)时,f(x)图象关于某一点对称,所以当k=0时,求出x=,即f(x)的图象关于点(,0)中心对称,故选B.7.(2015高考四川卷)sin15°+sin75°的值是.解析:sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=sin(15°+45°)=sin60°=.答案:8.(2016浙江新阵地教育研究联盟联考)已知点P(cosα,sinα)在直线y=-3x上,则tan(α-)=;=.解析:因为点P(cosα,sinα)在直线y=-3x上,所以sinα=-3cosα,即tanα=-3,则tan(α-)===2;====-.答案:2-9.设tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两根,0<α<,π<β<,则α+β=.解析:因为tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两根,所以tanα+tanβ=,tanαtanβ=,所以tan(α+β)==1.因为0<α<,π<β<,所以π<α+β<2π,所以α+β=.答案:10.(2015广州模拟)已知α,β均为锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.解:(1)因为α,β均为锐角,所以0<α<,0<β<,所以-<α-β<,又tan(α-β)=-<0,所以-<α-β<0,sin(α-β)<0,又tan(α-β)==-,sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,所以sin(α-β)=-.(2)由(1)可得cos(α-β)=,因为0<α<,sinα=,所以cosα===,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×(-)=.11.已知0<α<,0<β<,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,证明:α+β=.证明:因为3sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),所以3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,所以2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,所以tan(α+β)=2tanα.又因为4tan=1-tan2,所以tanα==.所以tan(α+β)=2tanα=1.因为α+β∈(0,),所以α+β=.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016成都模拟)若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈[,π],β∈[π,],则α+β的值是(A)(A)(B)(C)或(D)或解析:因为α∈[,π],故2α∈[,2π],但sin2α=,故2α∈[,π],α∈[,],所以cos2α=-,β∈[π,],故β-α∈[,],于是cos(β-α)=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×(-)-×=,且α+β∈[,2π],故α+β=,故选A.13.(2015青岛模拟)设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=.则a,b,c按大小顺序排列为.解析:a=sin14°+cos14°=sin59°,b=sin16°+cos16°=sin61°,c==sin60°.因为59°<60°<61°,所以sin59°
