第2节平面向量基本定理及其坐标表示【选题明细表】知识点、方法题号平面向量基本定理及其应用3,5,10,13平面向量的坐标表示及运算1,2,9,11共线向量的坐标表示4,7,8综合问题6,12基础对点练(时间:30分钟)1.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),则向量-2a-3b为(D)(A)(1,-1)(B)(-1,1)(C)(-4,6)(D)(4,-6)解析:-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.2.(2015东北三校第二次联考)向量a=(2,-9),向量b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为(A)(A)(,-)(B)(-,)(C)(,-)(D)(-,)解析:因为a-b=(5,-12),所以|a-b|==13,所以与a-b同向的单位向量为(,-).3.(2015贵州省适应性考试)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成λe1+μe2(λ,μ∈R)的是(C)(A)e1=(0,0),e2=(2,1)(B)e1=(3,4),e2=(6,8)(C)e1=(-1,2),e2=(3,-2)(D)e1=(1,-3),e2=(-1,3)解析:在A,B,D中,e1,e2均共线.4.(2015兴安盟二模)平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),若a∥b,则x等于(A)(A)4(B)-4(C)-1(D)2解析:因为平面向量a=(1,-2),b=(-2,x),且a∥b,所以1·x-(-2)·(-2)=0,解得x=4.5.(2015郴州二模)已知两点A(1,0),B(-1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=135°,设=-+λ(λ∈R),则实数λ等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:根据题意设C(x0,-x0),所以=(x0,-x0),=(1,0),=(-1,).由=-+λ得,(x0,-x0)=(-1-λ,λ),所以解得λ=.6.(2016安徽“江淮十校”联考)在△ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,S为△ABC的面积.若向量p=(S,a+b+c),q=(a+b-c,1)满足p∥q,则tan等于(D)(A)(B)(C)2(D)4解析:由p∥q得S=(a+b)2-c2=2ab+a2+b2-c2,即absinC=2ab+2abcosC,即sinC=1+cosC,sin·cos=2cos2,所以tan=4.故选D.7.(2015河北石家庄二模)已知向量a=(2,1),b=(x,-1),且a-b与b共线,则x的值为.解析:因为a-b=(2-x,2),又a-b与b共线且b=(x,-1),所以2x+2-x=0,所以x=-2.答案:-28.(2016德阳校级月考)已知向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),且A,B,C三点共线,则k=.解析:因为向量=(k,11),=(4,5),=(5,8),所以=(4-k,-6),=(1,3),因为A,B,C三点共线,不妨设=λ,所以(4-k,-6)=λ(1,3),所以解得k=6.答案:69.(2015温州二模)已知六边形ABCDEF为正六边形,若向量=(,-1),则|-|=;+=.(用坐标表示)解析:六边形ABCDEF为正六边形,向量=(,-1),如图:A(0,0),B(,-1),C(2,0),D(2,2),E(,3),F(0,2).|-|=|(0,-2)-(-,1)|==2.+=(,-3)+(,1)=(2,-2).答案:2(2,-2)能力提升练(时间:15分钟)10.(2015和平区二模)如图,在△ABC中,=,=,若=λ+μ,则λ+μ的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为=+,=,所以=+,因为=-,=,所以=-,所以=+=+(-)=+,因为=λ+μ,所以λ=,μ=,则λ+μ=+=.11.(2015浮山县校级期中)已知四边形ABCD为平行四边形,A(-1,2),B(0,0),C(1,7),则点D的坐标是(C)(A)(-9,9)(B)(-9,0)(C)(0,9)(D)(0,-9)解析:设D的坐标为(x,y),因为A(-1,2),B(0,0),C(1,7),所以=(1,-2),=(1-x,7-y),因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,所以1-x=1,7-y=-2,解得x=0,y=9.12.△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n,则cosA=.解析:因为m∥n,所以(3c-b)c=(a-b)(3a+3b),即bc=3(b2+c2-a2),所以=,所以cosA==.答案:13.(2016枣庄校级月考)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足=+.(1)求△ABM与△ABC的面积之比.(2)若N为AB中点,AM与CN交于点O,设=x+y,求x,y的值.解:(1)由=+,可知M,B,C三点共线.如图令=λ得=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,所以λ=,所以=,即面积之比为1∶4.(2)由=x+y得=x+,=+y,由O,M,A三点共线及O,N,C三点共线⇒⇒精彩5分钟1.(2015遵义高三联考)在平面直角坐标系中,向量n=(2,0),将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m,若向量a满足|a-m-n|=1,则|a|的最大值是(B)(A)2-1(B)2+1(C)3(D)++1解题关键:注意利用数形结合思想求解.解析:依题意,m=(1,),所以m+n=(3,),设a=(x,y),又|a-m-n|=1,所以(x-3)2+(y-)2=1.所以向量a的终点坐标(x,y)的轨迹是以(3,)为圆心,半径为1的圆.所以|a|的最大值为圆心(3,)到原点的距离加上半径.所以|a|的最大值为+1=2+1.2.(2016益阳模拟)如图,在△OMN中,A,B分别是OM,ON的中点,若=x+y(x,y∈R),且点P落在四边形ABNM内(含边界),则的取值范围是(C)(A)[,](B)[,](C)[,](D)[,]解题关键:注意利用极端值(特值、特殊位置)寻找解题思路.解:若P在线段AB上,设=λ,则有=+=+λ=+λ(-),所以=,由于=x+y(x,y∈R),则x=,y=,故有x+y=1,若P在线段MN上,设=λ,则有=,由于在△OMN中,A,B分别是OM,ON的中点,则=x+y=x+y(x,y∈R),则x=,y=,故有x+y=2,若P在四边形ABNM内(含边界),则x≥0,y≥0,则∈[,].
