大题考法专训（三）立体几何与空间向量A级——中档题保分练1．(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．(1)证明：MN∥平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值．解：(1)证明：如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA，以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，，2)，N(1,0,2)，A1A＝(0,0，－4)，A1M＝(－1，，－2)，A1N＝(－1,0，－2)，MN＝(0，－，0)．设m＝(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m＝(，1,0)．设n＝(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n＝(2,0，－1)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，所以二面角AMA1N的正弦值为.2.如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°.(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC的中点，因为FA＝FC，所以AC⊥FO，又FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDEF.(2)连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD的中点，所以FO⊥BD，又AC⊥FO，AC⊥BD，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以BD＝2，AC＝2.因为△DBF为等边三角形，所以OF＝.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，所以AD＝(－，－1,0)，AF＝(－，0，)，AB＝(－，1,0)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得平面ABF的一个法向量为n＝(1，，1)．设直线AD与平面ABF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AD，n〉|＝＝.故直线AD与平面ABF所成角的正弦值为.3．(2019·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上，且＝.(1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角FAEP的余弦值；(3)设点G在PB上，且＝.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.(2)过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.以A为坐标原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0，0)，B(2，－1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)．所以AE＝(0,1,1)，PC＝(2,2，－2)，AP＝(0,0,2)．所以PF＝PC＝，所以AF＝AP＋PF＝.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－1，x＝－1.于是n＝(－1，－1,1).又因为平面PAD的一个法向量为p＝(1,0,0)，所以cos〈n，p〉＝＝－.由图知，二面角FAEP为锐角，所以二面角FAEP的余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内，理由如下：因为点G在PB上，且＝，PB＝(2，－1，－2)，所以PG＝PB＝，所以AG＝AP＋PG―→＝.由(2)知，平面AEF的一个法向量n＝(－1，－1,1)，所以AG·n＝－＋＋＝0.所以直线AG在平面AEF内．B级——拔高题满分练1．(2019·福建南平质检)已知三棱锥SABC的底面ABC是等边三角形，D是AC的中点，CE＝CB，平面SBC⊥平面ABC.(1)求证：DE⊥SB；(2)若SB＝SC，二面角ASCB的余弦值为，求SD与平面SBC所成角的正弦值．解：(1)证明：取BC的中点O，连接AO.因为三角形ABC是等边三角形，所以AO⊥BC，由题易得，DE∥AO，从而DE⊥BC.又因为平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，DE⊂平面ABC，所以DE⊥平面SBC.又SB⊂平面SBC，所以DE⊥SB.(2)连接SO，因为SB＝SC，所以SO⊥BC.又平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，SO⊂平面SBC，所以SO⊥平面ABC，所以OA，OB，OS两两垂直．以OA，OB，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设CA＝CB＝AB＝4，SO＝h(h＞0)...
