考点过关检测（十三）1．(2019·滨州模拟)如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，FA＝FC，且∠DAB＝∠DBF＝60°.(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC的中点，因为FA＝FC，所以AC⊥FO，又FO∩BD＝O，所以AC⊥平面BDEF.(2)连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD的中点，所以FO⊥BD，又AC⊥FO，AC⊥BD，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以BD＝2，AC＝2.因为△DBF为等边三角形，所以OF＝.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0，)，所以AD＝(－，－1,0)，AF＝(－，0，)，AB＝(－，1,0)．设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得平面ABF的一个法向量为n＝(1，，1)．设直线AD与平面ABF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈AD，n〉|＝＝.故直线AD与平面ABF所成角的正弦值为.2.在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.(1)求证：A1C1⊥B1C；(2)求二面角B1A1CC1的正弦值．解：(1)证明：取A1C1的中点D，连接B1D，CD， C1C＝A1A＝A1C，∴CD⊥A1C1， 底面△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝BC＝2，A1B1＝B1C1＝2，∴B1D⊥A1C1，又B1D∩CD＝D，∴A1C1⊥平面B1CD，∴A1C1⊥B1C.(2)法一：过点D作DE⊥A1C于点E，连接B1E. 侧面AA1C1C⊥底面ABC，∴侧面AA1C1C⊥平面A1B1C1，又B1D⊥A1C1，侧面AA1C1C∩平面A1B1C1＝A1C1，∴B1D⊥平面A1CC1，∴B1D⊥A1C. DE∩B1D＝D，∴A1C⊥平面B1ED. B1E⊂平面B1ED，∴B1E⊥A1C，∴∠B1ED为所求二面角的平面角， A1B1＝B1C1＝A1C1＝2，∴B1D＝，又ED＝CC1＝，B1E＝，sin∠B1ED＝＝，即二面角B1A1CC1的正弦值为.法二：取AC的中点O，以O为坐标原点，OC，OB，OA1为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则依题意，O(0,0,0)，C(1,0,0)，A(－1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0,1)，∴A1B1＝AB＝(1，，0)，A1C＝(1,0，－1)．设平面B1A1C的法向量为m＝(x，y，z)，则即取x＝，得m＝(，－1，)．又平面C1A1C的法向量可取OB＝(0，，0)，∴cos〈m，OB〉＝＝＝－，∴二面角B1A1CC1的正弦值为.3．(2019·郑州模拟)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝30°，AB＝2AD.(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．解：(1)证明：在△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)设AD＝1，由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，BD＝AD，∴ED＝BD＝.因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，所以DE，DB，DA两两垂直．以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0,0，)，F(0，，)，所以AE＝(－1,0，)，AC＝(－2，，0)．设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(，2,1)为平面AEC的一个法向量．设AF与平面AEC所成角为θ，因为AF＝(－1，，)，所以sinθ＝|cos〈n，AF〉|＝＝，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.4．(2019·福州四校联考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED是直角梯形，DE⊥BD，BF∥DE，DE＝2BF＝2，平面BFED⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：在梯形ABCD中， AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3，∴AB2＝AD2＋BD2，∴BD⊥AD， 平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，∴AD⊥平面BFED.(2) AD⊥平面BFED，DE...
