考点过关检测（四）1．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若3bcosC＝c(1－3cosB)，则sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶2解析：选C由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，即3sin(B＋C)＝sinC⇒3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1.2．(2019·承德期末)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝1，c＝，cosC＝，则a＝()A．3B．4C．5D．6解析：选A由余弦定理可得cosC＝，即＝，整理可得(a－3)(3a＋5)＝0.结合a>0可得a＝3.3．(2019·湖南师大附中月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＝，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D∵＝＝＝，∴＝0或＝，即C＝90°或＝.由正弦定理，得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.4．(2020届高三·广西防城港模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边．若(a＋b)(sinA－sinB)＝c(sinA－sinC)，则B＝()A.B.C.D.解析：选C由题意和正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(a－c)，即a2－b2＝ac－c2，则a2＋c2－b2＝ac，由余弦定理可得cosB＝＝，∴B＝.5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，则此三角形的最大内角为()A．60°B．90°C．120°D．135°解析：选C∵sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶，∴a∶b∶c＝1∶1∶，易知C为最大内角，设a＝m，则b＝m，c＝m.∴cosC＝＝＝－，∴C＝120°.6．(2019·淮南一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝()A.B.C.D.解析：选B由题意和余弦定理得cosA＝＝＝sinA，所以A＝.故选B.7．在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acosA＝bsinA，则sinA＋sinC的最大值为()A.B.C．1D.解析：选B∵acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA，∵sinA≠0，∴cosA＝sinB，又B为钝角，∴B＝A＋，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－22＋，∴sinA＋sinC的最大值为.8．(2019·莆田第九中学月考)A在塔底D的正西面，在A处测得塔顶C的仰角为45°，B在塔底D的南偏东60°处，在塔顶C处测得到B的俯角为30°，AB间距84米，则塔高为()A．24米B．12米C．12米D．36米解析：选C由题意画出图形．则∠CBD＝30°，∠ADB＝90°＋60°＝150°，且AB＝84，设CD＝h，则在Rt△ADC中，AD＝CD＝h.在Rt△BDC中，BD＝＝＝h.在△ABD中，由余弦定理得，AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，即842＝h2＋(h)2－2h×h×，∴7h2＝842，∴h＝12.9．(2020届高三·合肥质检)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6]B．(3,5)C．(5,6]D．[5,6]解析：选C由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝，又A∈，∴A＝.∵＝＝＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin2B－cos2B＋4＝2sin＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，即2B－∈，∴
