7.3直线、平面垂直的判定与性质1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n答案C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.2．(2019·天津模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是()A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥βC．若l⊥β，则必有α⊥βD．若α⊥β，则必有m⊥α答案C解析对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；对于选项B，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B错误；对于选项C，因为l⊂α，l⊥β，所以α⊥β.所以选项C正确；对于选项D，直线m可能和平面α不垂直，所以选项D错误．3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A.B.C.D.答案B解析如图，取正三角形ABC的中心O，连结OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为，所以AD＝×＝，AO＝AD＝×＝1.三棱柱的体积为×()2AA1＝，解得AA1＝，即OP＝AA1＝，所以tan∠PAO＝＝，因为直线与平面所成角的范围是，所以∠PAO＝.4.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.5.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．在如图所示的四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝CD，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的鳖臑有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由题意，因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC，PD⊥BC，又四边形ABCD为正方形，所以BC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，BC⊥PC，所以四面体P－DBC是一个鳖臑，因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC，因为PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，可知四面体E－BCD的四个面都是直角三角形，即四面体E－BCD是一个鳖臑，同理可得，四面体P－ABD和F－ABD都是鳖臑，故选C.6．(2020·苏州模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段答案A解析如图，连结AC，AB1，B1C，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有BD1⊥平面ACB1，因为AP⊥BD1，所以AP⊂平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，∴故点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1.故选A.7．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．平面ACC1A1⊥CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案ABC解析对于A， ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD∥B1D1，由线面平行的判定可得BD∥平面CB1D1，A正确；对于B，连结AC， ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，且CC1⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1，∴BD⊥AC1，B正确；对于C，由上可知BD⊥平面ACC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥平面ACC1，则平面ACC1A1⊥CB1D1，C正确；对于D，异面直线AD与CB1所成的角即为直线BC与CB1所成的角为45°，D错误．故选ABC.8．(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A．平面D1A1P⊥平面A1APB．∠APD1的取值范围是C．三棱锥B1－D1PC的体积为定值D．DC1⊥D1P答案ACD解析在A中，因为A1D1⊥平面A1AP，A1D1⊂平面D1A1P，所以平面D1A1P⊥平面A1AP，故A正确；在B中，当P与A1重合时，∠APD1＝，故B错误；在C中，因为△B1D1C的面积是定值，A1B∥平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1－D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，因为DC1⊥D1C，DC1⊥BC，D1C∩BC＝C，D1C，BC⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥平面BCD1A1，又D1P⊂平面BCD1A1，所以DC1⊥D1P，故D正确．9．(2019·北...
