4.5.1和角、差角和倍角公式1．已知α是第二象限角，且tanα＝－，则sin2α等于()A．－B.C．－D.答案C解析因为α是第二象限角，且tanα＝－，所以sinα＝，cosα＝－，所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.2．(2019·衡水中学调研)已知sin(θ＋20°)＝，则sin(2θ－50°)的值为()A．－B.C.D.答案A解析sin(2θ－50°)＝sin[(2θ＋40°)－90°]＝－cos(2θ＋40°)＝2sin2(θ＋20°)－1＝－.3.的值为()A.B.C．－D．－答案B解析原式＝＝＝tan(45°＋15°)＝.4．(2020·沧州七校联考)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是()A．－B.C.D.答案B解析∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－，∴sinθ＝，又θ是第二象限角，∴cosθ＝－.又∵sin＝cosφ＝－，φ为第三象限角，∴sinφ＝－.∴cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ＝×＋×＝.5．化简cos250°－sin220°－sin30°sin50°等于()A.cos10°B．－cos10°C.sin10°D．－sin10°答案D解析原式＝－－cos40°＝cos100°＝－sin10°.6．设a＝cos50°cos127°＋cos40°sin127°，b＝(sin56°－cos56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．a>c>b答案D解析a＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，b＝(sin56°－cos56°)＝sin56°－cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°，∵sin13°>sin12°>sin11°，∴a>c>b.7．(多选)下列四个选项中，化简正确的是()A．cos(－15°)＝B．cos15°cos105°＋sin15°sin105°＝cos(15°－105°)＝0C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝D．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝答案BCD解析对于A方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°·cos45°＋sin30°sin45°＝×＋×＝，A错误．方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0，B正确．对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.对于D，原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝.8.＝.答案－4解析原式＝＝＝＝＝－4.9．设α为锐角，若cos＝，则sin的值为．答案解析∵α为锐角且cos＝>0，∴α＋∈，∴sin＝.∴sin＝sin＝sin2cos－cos2sin＝sincos－＝××－＝－＝.10．已知sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，则sin(α－β)＝.答案－解析∵sinα＋cosβ＝，sinβ－cosα＝，∴(sinα＋cosβ)2＝，(sinβ－cosα)2＝，即sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝，①sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝.②①＋②得2＋2sin(α－β)＝，∴sin(α－β)＝－.11．若sinθ＝且<θ<3π，求cos，tan的值．解∵sinθ＝，<θ<3π，∴cosθ＝－＝－.∵cosθ＝2cos2－1，∴cos2＝，又∵<<，∴cos＝－＝－＝－，tan＝＝＝＝＝2.12．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)的值．解因为0<α<<β<π.所以π<π＋α<π，－<－β<0.又sin＝，cos＝，所以cos＝－，sin＝－，所以cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cossin＝－.13．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B.C.D．－答案D解析由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，所以sin＝，sin＝，所以sin＝－sin＝－.14．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin＝.答案解析依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝，sinβ＝－.又β是第三象限角，所以cosβ＝－.所以sin＝－sin＝－sinβcos－cosβsin＝×＋×＝.15．已知coscos＝，则sin4θ＋cos4θ的值为．答案解析因为coscos＝＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.所以cos2θ＝.故sin4θ＋cos4θ＝2＋2＝＋＝.16．(2018·江苏)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
